23{ }^{\text {a }} Questão

Seja \quad D=\left\{(x, y) \in R^{2} ;-2 \leq x \leq 4,-1 \leq y \leq 3\right\}. Determine os valores máximo e mínimo absolutos, respectivamente, da função f(x, y)=x^{2}+2 x y+3 y^{2} em D.
(A) 11 e 2
(B) 19 e 8 / 3
(C) 19 e 0
(D) 67 e 0
(E) 67 e 19

Passo 1

O enunciado dá:
  • O conjunto D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -2\le x\le 4,\\\ -1\le y\le 3\right\} (um retângulo fechado).
  • A função f(x,y)=x^{2}+2xy+3y^{2}.
O que o problema pede:
  • Determinar os valores máximo e mínimo absolutos de f em D, ou seja, encontrar o maior e o menor valor que f assume quando (x,y) varia em D.
Informações relevantes fornecidas:
  • Intervalo de x: -2\le x\le 4.
  • Intervalo de y: -1\le y\le 3.
  • A função é polinomial (logo contínua) e D é compacto, portanto f atinge máximo e mínimo absolutos em D.

Passo 2

Estratégia de resolução (passo a passo didático):
  • Para uma função contínua em um conjunto fechado e limitado, extremos absolutos ocorrem em pontos críticos (onde o gradiente é zero) que estejam dentro de D ou em pontos da fronteira de D.
  • Primeiro: encontrar pontos críticos internos resolvendo \nabla f=0.
  • Depois: analisar cada aresta do retângulo D como um problema unidimensional (substituir a equação da aresta e achar extremos) e também verificar os vértices.
  • Comparar todos os valores obtidos para determinar máximo e mínimo absolutos.

Passo 3

Cálculo dos pontos críticos (interior de D):
  • Calcular as derivadas parciais. A ideia: \dfrac{\partial f}{\partial x} mede a taxa de variação de f em direção x e \dfrac{\partial f}{\partial y} em direção y.
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+2y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2x+6y.
  • Resolver o sistema \frac{\partial f}{\partial x}=0, \frac{\partial f}{\partial y}=0:
2x+2y=0, \qquad 2x+6y=0.
Dividindo por 2:
x+y=0, \qquad x+3y=0.
Subtraindo as equações: (x+3y)-(x+y)=2y=0\Rightarrow y=0. Então x=-y=0.
  • Logo existe um único ponto crítico: (0,0). Avaliar f nele:
f(0,0)=0.

Passo 4

Analisar a fronteira de D. A fronteira tem quatro arestas; em cada uma transformamos f numa função de uma variável e buscamos extremos (derivada zero ou extremos nos extremos do intervalo).
Aresta A: x=-2, com y\in[-1,3].
  • Substituir:
f(-2,y)=(-2)^2+2(-2)y+3y^2=4-4y+3y^2=3y^2-4y+4.
  • É uma parábola em y com coeficiente quadrático 3>0 (tem mínimo). O vértice ocorre em
y_v=\frac{-(-4)}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},
que está no intervalo [-1,3]. Avaliar:
f\!\left(-2,\tfrac{2}{3}\right)=3\left(\tfrac{2}{3}\right)^2-4\left(\tfrac{2}{3}\right)+4=\frac{8}{3}.
  • Avaliar nos extremos y=-1 e y=3:
f(-2,-1)=3+4+4=11, \qquad f(-2,3)=27-12+4=19.
  • Conclusão na aresta x=-2: mínimo local f=\tfrac{8}{3} em y=\tfrac{2}{3}; valores nos extremos 11 e 19.

Passo 5

Aresta B: x=4, com y\in[-1,3].
  • Substituir:
f(4,y)=4^2+2\cdot 4 y+3y^2=16+8y+3y^2=3y^2+8y+16.
  • A parábola tem coeficiente 3>0. Vértice em
y_v=\frac{-8}{2\cdot 3}=-\frac{4}{3},
que está fora do intervalo [-1,3]. Portanto extremos acontecem nas extremidades y=-1 e y=3.
  • Avaliar:
f(4,-1)=16-8+3=11, \qquad f(4,3)=16+24+27=67.
  • Conclusão na aresta x=4: valores 11 e 67.

Passo 6

Aresta C: y=-1, com x\in[-2,4].
  • Substituir:
f(x,-1)=x^2+2x(-1)+3(-1)^2=x^2-2x+3.
  • É uma parábola em x com coeficiente 1>0. Vértice em
x_v=\frac{2}{2\cdot 1}=1,
que está em [-2,4]. Avaliar:
f(1,-1)=1-2+3=2.
  • Avaliar nos extremos x=-2 e x=4:
f(-2,-1)=11,\qquad f(4,-1)=11.
  • Conclusão na aresta y=-1: mínimo f=2 em x=1; extremos nas pontas 11.

Passo 7

Aresta D: y=3, com x\in[-2,4].
  • Substituir:
f(x,3)=x^2+2x\cdot 3+3\cdot 3^2=x^2+6x+27.
  • Parábola em x com coeficiente 1>0. Vértice em
x_v=\frac{-6}{2\cdot 1}=-3,
que está fora do intervalo [-2,4]. Assim verificar apenas extremos nas pontas x=-2 e x=4:
f(-2,3)=19,\qquad f(4,3)=67.
  • Conclusão na aresta y=3: valores 19 e 67.

Passo 8

Reunir todos os candidatos a extremos (pontos críticos e valores nas arestas e vértices):
  • Ponto crítico interior: f(0,0)=0.
  • Aresta x=-2: f=\tfrac{8}{3},\\\ 11,\\\ 19.
  • Aresta x=4: f=11,\\\ 67.
  • Aresta y=-1: f=2,\\\ 11.
  • Aresta y=3: f=19,\\\ 67.
  • Vértices (já incluídos acima): (-2,-1)\mapsto 11, (-2,3)\mapsto 19, (4,-1)\mapsto 11, (4,3)\mapsto 67.
Comparando todos os valores obtidos:
0,\\ \frac{8}{3}\approx 2{,}666\ldots,\\\ 2,\\\ 11,\\\ 19,\\\ 67.
O menor valor é 0 e o maior é 67.

Resposta

67 e 0

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