Questão
Seja
. Determine os valores máximo e mínimo absolutos, respectivamente, da função
em
.
(A) 11 e 2
(B) 19 e
(C) 19 e 0
(D) 67 e 0
(E) 67 e 19
(A) 11 e 2
(B) 19 e
(C) 19 e 0
(D) 67 e 0
(E) 67 e 19
Passo 1
O enunciado dá:
- O conjunto
(um retângulo fechado). - A função
.
O que o problema pede:
- Determinar os valores máximo e mínimo absolutos de
em , ou seja, encontrar o maior e o menor valor que assume quando varia em .
Informações relevantes fornecidas:
- Intervalo de
: . - Intervalo de
: . - A função é polinomial (logo contínua) e
é compacto, portanto atinge máximo e mínimo absolutos em .
Passo 2
Estratégia de resolução (passo a passo didático):
- Para uma função contínua em um conjunto fechado e limitado, extremos absolutos ocorrem em pontos críticos (onde o gradiente é zero) que estejam dentro de
ou em pontos da fronteira de . - Primeiro: encontrar pontos críticos internos resolvendo
. - Depois: analisar cada aresta do retângulo
como um problema unidimensional (substituir a equação da aresta e achar extremos) e também verificar os vértices. - Comparar todos os valores obtidos para determinar máximo e mínimo absolutos.
Passo 3
Cálculo dos pontos críticos (interior de
):
- Calcular as derivadas parciais. A ideia:
mede a taxa de variação de em direção e em direção .
- Resolver o sistema
, :
Dividindo por
:
Subtraindo as equações:
. Então
.
- Logo existe um único ponto crítico:
. Avaliar nele:
Passo 4
Analisar a fronteira de
. A fronteira tem quatro arestas; em cada uma transformamos
numa função de uma variável e buscamos extremos (derivada zero ou extremos nos extremos do intervalo).
Aresta A:
, com
.
- Substituir:
- É uma parábola em
com coeficiente quadrático (tem mínimo). O vértice ocorre em
que está no intervalo
. Avaliar:
- Avaliar nos extremos
e :
- Conclusão na aresta
: mínimo local em ; valores nos extremos e .
Passo 5
Aresta B:
, com
.
- Substituir:
- A parábola tem coeficiente
. Vértice em
que está fora do intervalo
. Portanto extremos acontecem nas extremidades
e
.
- Avaliar:
- Conclusão na aresta
: valores e .
Passo 6
Aresta C:
, com
.
- Substituir:
- É uma parábola em
com coeficiente . Vértice em
que está em
. Avaliar:
- Avaliar nos extremos
e :
- Conclusão na aresta
: mínimo em ; extremos nas pontas .
Passo 7
Aresta D:
, com
.
- Substituir:
- Parábola em
com coeficiente . Vértice em
que está fora do intervalo
. Assim verificar apenas extremos nas pontas
e
:
- Conclusão na aresta
: valores e .
Passo 8
Reunir todos os candidatos a extremos (pontos críticos e valores nas arestas e vértices):
- Ponto crítico interior:
. - Aresta
: . - Aresta
: . - Aresta
: . - Aresta
: . - Vértices (já incluídos acima):
, , , .
Comparando todos os valores obtidos:
O menor valor é
e o maior é
.
Resposta
67 e 0