Questão
valor
da integral tripla
é
(A) 0
(B) 1
(C)
(D)
(E)
(A) 0
(B) 1
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral tripla
Informações relevantes dadas:
- Os limites mostram que a região de integração é a bola de raio
centrada na origem, ou seja o conjunto . - O integrando é
. - Pergunta: qual é o valor numérico desta integral? (Opções: (A)
, (B) , (C) , (D) , (E) .)
Passo 2
Reescrevendo o integrando de forma mais clara:
Para cada par fixo
dentro do disco
, a integração em
é feita entre os limites simétricos
Passo 3
Conceito útil: função ímpar e integração em limites simétricos.
- Dizemos que uma função
é ímpar em se para todo . - Propriedade: se
é ímpar e integrável, então para qualquer
porque as áreas positivas e negativas se cancelam (mostro isso brevemente: escrever a integral como soma em dois intervalos e fazer mudança de variável
mostra a anulação).
Passo 4
Aplicando isso ao nosso integrando: para cada
fixo, defina
Verifico que
é ímpar em
:
Portanto, para todo
com
,
Isto vale porque os limites em
são simétricos em torno de zero.
Passo 5
Agora aplico a integração iterada: a integral tripla pode ser vista como
Pelo passo anterior, o integrando interno é zero para cada
do disco, portanto a integral dupla externa de zero é zero. Logo o valor da integral tripla é
.
Passo 6
Comentário final (motivação extra para a prova): muitas integrais sobre regiões simétricas podem ser resolvidas rapidamente sem calcular nada, só observando paridade (par/ímpar) das funções em relação à alguma variável e se os limites são simétricos. Isso economiza muito tempo na prova — você já ganhou pontos aqui sem integrar explicitamente.
Resposta
(A) 0