\mathbf{2 4}^{\mathrm{n}} Questão
\mathrm{O} \quad valor \quad da integral tripla
\int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-y^{2}}}^{\sqrt{9-y^{2}}} \int_{-\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}\left(x^{2} z+y^{2} z+z^{5}\right) d z d x d y é
(A) 0
(B) 1
(C) 36 \pi
(D) \frac{843 \pi}{7}
(E) \frac{2039 \pi}{15}

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral tripla
\int_{-3}^{3}\!\int_{-\sqrt{9-y^{2}}}^{\sqrt{9-y^{2}}}\!\int_{-\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}\bigl(x^{2}z+y^{2}z+z^{5}\bigr)\,dz\,dx\,dy.
Informações relevantes dadas:
  • Os limites mostram que a região de integração é a bola de raio 3 centrada na origem, ou seja o conjunto \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9\}.
  • O integrando é \;x^{2}z+y^{2}z+z^{5}.
  • Pergunta: qual é o valor numérico desta integral? (Opções: (A) 0, (B) 1, (C) 36\pi, (D) \dfrac{843\pi}{7}, (E) \dfrac{2039\pi}{15}.)

Passo 2

Reescrevendo o integrando de forma mais clara:
x^{2}z+y^{2}z+z^{5}=z\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+z^{5}.
Para cada par fixo (x,y) dentro do disco \{x^{2}+y^{2}\le 9\}, a integração em z é feita entre os limites simétricos
-\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}\quad\text{e}\quad \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}.

Passo 3

Conceito útil: função ímpar e integração em limites simétricos.
  • Dizemos que uma função f é ímpar em z se \;f(-z)=-f(z) para todo z.
  • Propriedade: se f é ímpar e integrável, então para qualquer a>0
\int_{-a}^{a} f(z)\,dz = 0,
porque as áreas positivas e negativas se cancelam (mostro isso brevemente: escrever a integral como soma em dois intervalos e fazer mudança de variável u=-z mostra a anulação).

Passo 4

Aplicando isso ao nosso integrando: para cada (x,y) fixo, defina
g_{(x,y)}(z)=z\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+z^{5}.
Verifico que g_{(x,y)} é ímpar em z:
g_{(x,y)}(-z) = -z\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) + (-z)^{5} = -z\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) - z^{5} = -\bigl(z\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+z^{5}\bigr) = -g_{(x,y)}(z).
Portanto, para todo (x,y) com x^{2}+y^{2}\le 9,
\int_{-\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}} g_{(x,y)}(z)\,dz = 0.
Isto vale porque os limites em z são simétricos em torno de zero.

Passo 5

Agora aplico a integração iterada: a integral tripla pode ser vista como
\int_{\{x^{2}+y^{2}\le 9\}}\left(\int_{-\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}} g_{(x,y)}(z)\,dz\right) dx\,dy.
Pelo passo anterior, o integrando interno é zero para cada (x,y) do disco, portanto a integral dupla externa de zero é zero. Logo o valor da integral tripla é 0.

Passo 6

Comentário final (motivação extra para a prova): muitas integrais sobre regiões simétricas podem ser resolvidas rapidamente sem calcular nada, só observando paridade (par/ímpar) das funções em relação à alguma variável e se os limites são simétricos. Isso economiza muito tempo na prova — você já ganhou pontos aqui sem integrar explicitamente.

Resposta

(A) 0

Exercícios relacionados