24.23 Diffusion experiments were conducted with a binary mixture of synthesistic gas containing \mathrm{H}_{2} (species A ) diluted in a large excess of CO (species B ) at 2.0 atm total system pressure and 80^{\circ} \mathrm{C} in a porous material of monodispersed pore size distribution and void volume fraction of 0.3 . From the measurements, the measured effective diffusion coefficient of hydrogen was 0.036 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}. What is the mean pore size ( d_{\text {pore }} ) of this material?

Passo 1

O enunciado trata de difusão de \mathrm{H}_2 (espécie A) em excesso de CO (espécie B) dentro de um meio poroso. Dados: fração de vazios \varepsilon=0,3, pressão total P=2{,}0 atm, temperatura T=80^\circ\mathrm{C}=353 K, e difusividade efetiva medida
D_{\mathrm{eff}}=0{,}036\\ \mathrm{cm^2/s}.
Queremos o diâmetro médio de poro d_{\mathrm{pore}}. Para isso usaremos que na porosidade efetiva
D_{\mathrm{eff}}=\frac{\varepsilon}{\tau}\,D_{\mathrm{app}},
onde D_{\mathrm{app}} é a difusividade aparente, combinação de difusão molecular e Knudsen:
\frac{1}{D_{\mathrm{app}}}=\frac{1}{D_{AB}}+\frac{1}{D_K}.
Por fim, a difusão de Knudsen satisfaz
D_K=\frac{d_{\mathrm{pore}}}{3}\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_A}}\,,
com M_A=2 g/mol e R=8{,}314\times10^7 erg/(mo l\cdot K).

Passo 2

Calcular a difusividade molecular D_{AB} (H _2 em CO) pela correlação de Chapman–Enskog:
D_{AB} =0{,}001858\, \frac{T^{3/2}}{P\,\sigma_{AB}^2\,\Omega_D} \sqrt{\frac{1}{M_A}+\frac{1}{M_B}}.
Parâmetros usados: \sigma_A=2{,}92\AA, \sigma_B=3{,}69\AA,⇒ \sigma_{AB}=3{,}305\AA, \varepsilon_A/k=38 K, \varepsilon_B/k=92 K ⇒ \varepsilon_{AB}/k\approx59{,}1 K, T^*=353/59{,}1\approx5{,}97;⇒ colisão integral \Omega_D\approx0{,}804.
Assim: T^{3/2}=353\sqrt{353}\approx6{,}62\times10^3, \sqrt{1/2+1/28}\approx0{,}732,
D_{AB}\approx \frac{0{,}001858\times6{,}62\times10^3\times0{,}732} {2{,}0\times(3{,}305)^2\times0{,}804} \approx0{,}51\\ \mathrm{cm^2/s}.

Passo 3

Assumindo tortuosidade \tau=1, a difusividade aparente é
D_{\mathrm{app}} =\frac{D_{\mathrm{eff}}}{\varepsilon} =\frac{0{,}036}{0{,}3} =0{,}12\\ \mathrm{cm^2/s}.

Passo 4

Extrair a contribução de Knudsen D_K de
\frac{1}{D_K} =\frac{1}{D_{\mathrm{app}}}-\frac{1}{D_{AB}} =\frac{1}{0{,}12}-\frac{1}{0{,}51} \approx8{,}33-1{,}96=6{,}37,
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D_K=\frac{1}{6{,}37}\approx0{,}157\\ \mathrm{cm^2/s}.

Passo 5

Isolar d_{\mathrm{pore}} em
D_K =\frac{d_{\mathrm{pore}}}{3} \sqrt{\frac{8RT}{\pi M_A}} \;\Longrightarrow\; d_{\mathrm{pore}} =3\,D_K\bigg/\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_A}}.
Calcular o termo sob a raiz:
\frac{8RT}{\pi M_A} =\frac{8\times8{,}314\times10^7\times353}{\pi\times2} \approx1{,}87\times10^{10}\\ (\mathrm{cm^2/s^2}), \sqrt{1{,}87\times10^{10}}\approx1{,}37\times10^5 cm/s.
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d_{\mathrm{pore}} =\frac{3\times0{,}157}{1{,}37\times10^5} \approx3{,}44\times10^{-6}\\ \mathrm{cm} =34\\ \mathrm{nm}.

Resposta

O diâmetro médio de poro é cerca de 3,4\times10^{-6} cm (≈ 34 nm).

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