6.24 Uma barra cilíndrica com 120 mm de comprimento e diâmetro de 15,0 \mathrm{~mm} deve ser deformada utilizando-se uma carga de tração de 35.000 N . Ela não deve sofrer deformação plástica, e a redução no seu diâmetro não deve ser superior a 1,2 \times 10^{-2} \mathrm{~mm}. Entre os materiais listados a seguir, quais são possíveis candidatos? Justifique sua(s) escolha(s).
Módulo de
Elasticidade
(GPa)
Resistência ao
Escoamento
(MPa)
Coeficiente
de Poisson
Material 70 250 0,33
Liga de alumínio 105 850 0,36
Liga de titânio 205 550 0,27
Liga de aço 45 170 0,35
Liga de magnésio

Passo 1

O enunciado pede que identifiquemos, entre os materiais da tabela, quais podem ser usados para uma barra cilíndrica com as seguintes condições: ela será tracionada por uma força e não deve sofrer deformação plástica, e a redução no diâmetro não pode ser superior a \,1,2\times 10^{-2}\\ \mathrm{mm}.
Dados fornecidos (vou listar exatamente os valores dados no enunciado/tabela):
\begin{aligned} \text{Comprimento da barra} &= 120\\ \mathrm{mm}\\ (\text{não será preciso para as condições pedidas}),\\\ \text{Diâmetro inicial} &= d = 15{,}0\\ \mathrm{mm},\\\ \text{Força de tração} &= P = 35\,000\\ \mathrm{N},\\\ \text{Redução máxima permitida no diâmetro} &= \Delta d_{\max} = 1{,}2\times 10^{-2}\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}ãáçõâççãçãáâ
Tabela de materiais (copiada do enunciado):
\begin{array}{l c c c} \text{Material} & E\\ (\mathrm{GPa}) & \text{Resistência ao escoamento }(\mathrm{MPa}) & \nu\\hline \text{Material (1)} & 70 & 250 & 0{,}33\\\ \text{Liga de alumínio} & 105 & 850 & 0{,}36\\\ \text{Liga de titânio} & 205 & 550 & 0{,}27\\\ \text{Liga de aço} & 45 & 170 & 0{,}35\\\ \text{Liga de magnésio} & \text{(sem dados)} & \text{(sem dados)} & \text{(sem dados)} \end{array}êíâçé
Observações importantes que já extraio do enunciado:
  • Para evitar deformação plástica precisamos que a tensão axial aplicada seja menor que a resistência ao escoamento de cada material.
  • A redução do diâmetro vem da contração lateral relacionada à Poisson; devo calcular a contração elástica usando o módulo de elasticidade E e o coeficiente de Poisson \nu.
  • A linha da “Liga de magnésio” não tem dados na tabela; portanto não é possível avaliar essa liga sem informações adicionais.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal da barra (seção circular) — isso é necessário para obter a tensão axial.
Fórmula da área da seção circular:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Substituindo d=15{,}0\\ \mathrm{mm}:
d^{2}=15{,}0^{2}=225{,}0\\ (\mathrm{mm}^2),
A=\frac{\pi\cdot 225{,}0}{4}=56{,}25\pi\\ \mathrm{mm}^2.
Valor numérico aproximado:
A \approx 56{,}25\pi \approx 176{,}71\\ \mathrm{mm}^2.
(Usei \pi\approx 3{,}1416.)

Passo 3

Calcular a tensão axial média na seção: \sigma=\dfrac{P}{A}.
Substituindo P=35\,000\\ \mathrm{N} e A\approx 176{,}71\\ \mathrm{mm}^2:
\sigma=\frac{35\,000}{176{,}71}\\ \mathrm{N/mm}^2 \approx 198{,}11\\ \mathrm{N/mm}^2.
Como 1\\ \mathrm{N/mm}^2 = 1\\ \mathrm{MPa}, temos
\sigma \approx 198{,}11\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação prática: a barra está submetida a uma tensão axial de aproximadamente \,198{,}11\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Verificar a condição de não escoamento (não haver deformação plástica): para cada material comparar \sigma com a resistência ao escoamento \sigma_{y} dada na tabela. A condição para permanecer elástico é
\sigma < \sigma_{y}.
Comparações (valores da tabela):
  • Material (1): \sigma_{y}=250\\ \mathrm{MPa}. Como \sigma\approx 198{,}11<250, NÃO há escoamento (permanece elástico) para este material.
  • Liga de alumínio: \sigma_{y}=850\\ \mathrm{MPa}. \sigma\ll 850, NÃO há escoamento.
  • Liga de titânio: \sigma_{y}=550\\ \mathrm{MPa}. \sigma\ll 550, NÃO há escoamento.
  • Liga de aço: \sigma_{y}=170\\ \mathrm{MPa}. Aqui \sigma\approx 198{,}11>170, PORTANTO haveria escoamento (deformação plástica) — descartar a liga de aço.
  • Liga de magnésio: sem dados — não é possível avaliar se ela escoaria.
Conclusão parcial: material (1), alumínio e titânio passam no critério de tensão < escoamento; aço já está descartado porque a tensão aplicada excede sua resistência ao escoamento.

Passo 5

Agora verificar o limite de redução do diâmetro. Explico as fórmulas físicas que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Hooke linear (na faixa elástica) relaciona tensão axial com deformação axial:
\varepsilon_{\text{axial}}=\frac{\sigma}{E},
onde \varepsilon_{\text{axial}} é a deformação axial (adimensional), \sigma é a tensão axial (em \mathrm{MPa} ou \mathrm{N/mm}^2) e E é o módulo de elasticidade. Atenção às unidades: E foi dado em \mathrm{GPa} (1 \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{MPa}), então quando \sigma está em \mathrm{MPa} usamos E em \mathrm{MPa} (multiplicando o valor em GPa por 1000).
  • Efeito de Poisson: a contração lateral (deformação lateral) é proporcional à deformação axial, com constante \nu (coeficiente de Poisson):
\varepsilon_{\text{lateral}}=-\nu\,\varepsilon_{\text{axial}}.
Tomamos o valor absoluto para o decrescimento de diâmetro.
  • Redução do diâmetro absoluta \Delta d (em mm) é:
\Delta d = |\varepsilon_{\text{lateral}}|\cdot d = \nu\cdot\varepsilon_{\text{axial}}\cdot d = \nu\cdot\frac{\sigma}{E}\cdot d,
onde E deve estar na mesma unidade de \sigma (usar E em \mathrm{MPa}).
Vamos aplicar essa fórmula para cada material (inclusive para o que já foi descartado por escoamento eu calculo para ver a magnitude).

Passo 6

Cálculos numéricos de \Delta d para cada material (lembre: converter E de \mathrm{GPa} para \mathrm{MPa} multiplicando por 1000).
  1. Material (1): E=70\\ \mathrm{GPa}=70\,000\\ \mathrm{MPa}, \nu=0{,}33.
\varepsilon_{\text{axial}}=\frac{198{,}11}{70\,000}\approx 0{,}00283017,
\Delta d = 0{,}33\cdot 0{,}00283017\cdot 15{,}0 \approx 0{,}0140094\\ \mathrm{mm}.
Comparação com o limite: 0{,}0140094\\ \mathrm{mm} > 0{,}012\\ \mathrm{mm} — excede o máximo permitido.
  1. Liga de alumínio: E=105\\ \mathrm{GPa}=105\,000\\ \mathrm{MPa}, \nu=0{,}36.
\varepsilon_{\text{axial}}=\frac{198{,}11}{105\,000}\approx 0{,}00188773,
\Delta d = 0{,}36\cdot 0{,}00188773\cdot 15{,}0 \approx 0{,}0101937\\ \mathrm{mm}.
Comparação: 0{,}0101937\\ \mathrm{mm} < 0{,}012\\ \mathrm{mm} — atende ao requisito.
  1. Liga de titânio: E=205\\ \mathrm{GPa}=205\,000\\ \mathrm{MPa}, \nu=0{,}27.
\varepsilon_{\text{axial}}=\frac{198{,}11}{205\,000}\approx 0{,}00096689,
\Delta d = 0{,}27\cdot 0{,}00096689\cdot 15{,}0 \approx 0{,}0039159\\ \mathrm{mm}.
Comparação: 0{,}0039159\\ \mathrm{mm} \ll 0{,}012\\ \mathrm{mm} — atende com folga.
  1. Liga de aço: E=45\\ \mathrm{GPa}=45\,000\\ \mathrm{MPa}, \nu=0{,}35.
\varepsilon_{\text{axial}}=\frac{198{,}11}{45\,000}\approx 0{,}00440249,
\Delta d = 0{,}35\cdot 0{,}00440249\cdot 15{,}0 \approx 0{,}0231121\\ \mathrm{mm}.
Comparação: 0{,}0231121\\ \mathrm{mm} > 0{,}012\\ \mathrm{mm} — além de exceder a redução permitida, lembramos que a liga de aço também já foi descartada pois \sigma>\sigma_{y}.
  1. Liga de magnésio: sem dados — não dá para calcular \Delta d nem verificar o escoamento.

Passo 7

Juntando os dois requisitos (não escoar e \Delta d \le 1{,}2\times 10^{-2}\\ \mathrm{mm}):
  • Material (1): NÃO escoa, mas \Delta d\approx 0{,}0140\\ \mathrm{mm} > 0{,}012\\ \mathrm{mm} → NÃO é candidato (falha no limite de redução do diâmetro).
  • Liga de alumínio: NÃO escoa ( \sigma_{y}=850\\ \mathrm{MPa}) e \Delta d\approx 0{,}01019\\ \mathrm{mm} < 0{,}012\\ \mathrm{mm} → ATENDE a ambos os requisitos → candidato.
  • Liga de titânio: NÃO escoa ( \sigma_{y}=550\\ \mathrm{MPa}) e \Delta d\approx 0{,}00392\\ \mathrm{mm} < 0{,}012\\ \mathrm{mm} → ATENDE → candidato.
  • Liga de aço: Escoa ( \sigma>\sigma_{y}) e \Delta d também excede → NÃO é candidato.
  • Liga de magnésio: sem dados → não é possível avaliar, portanto não pode ser classificada como candidata sem mais informações.

Passo 8

Resumo final: as ligas que satisfazem simultaneamente a condição de permanecerem elásticas (não escoar) e a condição de não exceder a redução máxima do diâmetro são a Liga de alumínio e a Liga de titânio. A liga denominada “Material (1)” falha no requisito de redução de diâmetro; a liga de aço falha por escoamento; a liga de magnésio carece de dados para avaliação.
Força de incentivo: você já está muito bem se acompanhou até aqui — foque em decorar o passo a passo: calcular tensão, comparar com escoamento, usar Hooke e Poisson para a redução lateral. Dá pra fazer isso bem rápido na prova.

Resposta

Liga de alumínio
Liga de titânio
Liga de magnésio: dados insuficientes para avaliação

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