6.24 Uma barra cilíndrica com 120 mm de comprimento e diâmetro de
deve ser deformada utilizando-se uma carga de tração de 35.000 N . Ela não deve sofrer deformação plástica, e a redução no seu diâmetro não deve ser superior a
. Entre os materiais listados a seguir, quais são possíveis candidatos? Justifique sua(s) escolha(s).
Módulo de
Elasticidade
(GPa)
Resistência ao
Escoamento
(MPa)
Coeficiente
de Poisson
Material
70
250
0,33
Liga de alumínio
105
850
0,36
Liga de titânio
205
550
0,27
Liga de aço
45
170
0,35
Liga de magnésio
|
|
|
|||||||||
| Material | 70 | 250 | 0,33 | ||||||||
| Liga de alumínio | 105 | 850 | 0,36 | ||||||||
| Liga de titânio | 205 | 550 | 0,27 | ||||||||
| Liga de aço | 45 | 170 | 0,35 | ||||||||
| Liga de magnésio |
Passo 1
O enunciado pede que identifiquemos, entre os materiais da tabela, quais podem ser usados para uma barra cilíndrica com as seguintes condições: ela será tracionada por uma força e não deve sofrer deformação plástica, e a redução no diâmetro não pode ser superior a
.
Dados fornecidos (vou listar exatamente os valores dados no enunciado/tabela):
Tabela de materiais (copiada do enunciado):
Observações importantes que já extraio do enunciado:
- Para evitar deformação plástica precisamos que a tensão axial aplicada seja menor que a resistência ao escoamento de cada material.
- A redução do diâmetro vem da contração lateral relacionada à Poisson; devo calcular a contração elástica usando o módulo de elasticidade
e o coeficiente de Poisson . - A linha da “Liga de magnésio” não tem dados na tabela; portanto não é possível avaliar essa liga sem informações adicionais.
Passo 2
Calcular a área da seção transversal da barra (seção circular) — isso é necessário para obter a tensão axial.
Fórmula da área da seção circular:
Substituindo
:
Valor numérico aproximado:
(Usei
.)
Passo 3
Calcular a tensão axial média na seção:
.
Substituindo
e
:
Como
, temos
Interpretação prática: a barra está submetida a uma tensão axial de aproximadamente
.
Passo 4
Verificar a condição de não escoamento (não haver deformação plástica): para cada material comparar
com a resistência ao escoamento
dada na tabela. A condição para permanecer elástico é
Comparações (valores da tabela):
- Material (1):
. Como , NÃO há escoamento (permanece elástico) para este material. - Liga de alumínio:
. , NÃO há escoamento. - Liga de titânio:
. , NÃO há escoamento. - Liga de aço:
. Aqui , PORTANTO haveria escoamento (deformação plástica) — descartar a liga de aço. - Liga de magnésio: sem dados — não é possível avaliar se ela escoaria.
Conclusão parcial: material (1), alumínio e titânio passam no critério de tensão < escoamento; aço já está descartado porque a tensão aplicada excede sua resistência ao escoamento.
Passo 5
Agora verificar o limite de redução do diâmetro. Explico as fórmulas físicas que vamos usar (passo-a-passo didático):
- Hooke linear (na faixa elástica) relaciona tensão axial com deformação axial:
onde
é a deformação axial (adimensional),
é a tensão axial (em
ou
) e
é o módulo de elasticidade. Atenção às unidades:
foi dado em
(1
), então quando
está em
usamos
em
(multiplicando o valor em GPa por
).
- Efeito de Poisson: a contração lateral (deformação lateral) é proporcional à deformação axial, com constante
(coeficiente de Poisson):
Tomamos o valor absoluto para o decrescimento de diâmetro.
- Redução do diâmetro absoluta
(em mm) é:
onde
deve estar na mesma unidade de
(usar
em
).
Vamos aplicar essa fórmula para cada material (inclusive para o que já foi descartado por escoamento eu calculo para ver a magnitude).
Passo 6
Cálculos numéricos de
para cada material (lembre: converter
de
para
multiplicando por
).
- Material (1):
, .
Comparação com o limite:
— excede o máximo permitido.
- Liga de alumínio:
, .
Comparação:
— atende ao requisito.
- Liga de titânio:
, .
Comparação:
— atende com folga.
- Liga de aço:
, .
Comparação:
— além de exceder a redução permitida, lembramos que a liga de aço também já foi descartada pois
.
- Liga de magnésio: sem dados — não dá para calcular
nem verificar o escoamento.
Passo 7
Juntando os dois requisitos (não escoar e
):
- Material (1): NÃO escoa, mas
→ NÃO é candidato (falha no limite de redução do diâmetro). - Liga de alumínio: NÃO escoa (
) e → ATENDE a ambos os requisitos → candidato. - Liga de titânio: NÃO escoa (
) e → ATENDE → candidato. - Liga de aço: Escoa (
) e também excede → NÃO é candidato. - Liga de magnésio: sem dados → não é possível avaliar, portanto não pode ser classificada como candidata sem mais informações.
Passo 8
Resumo final: as ligas que satisfazem simultaneamente a condição de permanecerem elásticas (não escoar) e a condição de não exceder a redução máxima do diâmetro são a Liga de alumínio e a Liga de titânio. A liga denominada “Material (1)” falha no requisito de redução de diâmetro; a liga de aço falha por escoamento; a liga de magnésio carece de dados para avaliação.
Força de incentivo: você já está muito bem se acompanhou até aqui — foque em decorar o passo a passo: calcular tensão, comparar com escoamento, usar Hooke e Poisson para a redução lateral. Dá pra fazer isso bem rápido na prova.
Resposta
Liga de alumínio
Liga de titânio
Liga de magnésio: dados insuficientes para avaliação
Liga de titânio
Liga de magnésio: dados insuficientes para avaliação