Questão 3. Calcule o espaçamento entre os planos (111) do níquel. O níquel tem estrutura CFC e seu parâmetro de rede é 3,5239 \AA Å. Em uma análise de difração de raios x, com qual ângulo esse plano irá difratar, se utilizarmos um equipamento com feixe de cobre (\lambda=1,54 \AA) .(1,5 Pontos)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas relacionadas aos planos (111) do níquel, que tem estrutura cúbica de faces centradas (CFC):
  • Calcular o espaçamento entre planos (111).
  • Determinar o ângulo de difração correspondente ao usar radiação de cobre com comprimento de onda \lambda = 1,54\\ \AA.
Dados fornecidos:
a = 3,5239\\ \AA
\lambda = 1,54\\ \AA
Plano considerado: (h,k,l)=(1,1,1).

Passo 2

Fórmula para o espaçamento interplanar em uma rede cúbica (explicação didática):
Para uma rede cúbica, a distância entre planos com índices de Miller (h,k,l) é dada por
d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}.
O que cada símbolo significa:
  • d_{hkl} é a distância entre planos paralelos com índices (h,k,l).
  • a é o parâmetro de rede (a aresta do cubo).
  • h,k,l são os índices de Miller que identificam a família de planos.
    Essa fórmula vem da geometria da célula unitária cúbica: a distância entre planos depende da orientação (dada por h,k,l) e do tamanho da célula a.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao plano (111):
Primeiro calculamos h^{2}+k^{2}+l^{2}:
1^{2}+1^{2}+1^{2}=3.
Portanto
d_{111}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{3,5239\\ \AA}{\sqrt{3}}.
Aproximando \sqrt{3}\approx 1,73205, temos
d_{111}\approx\frac{3,5239}{1,73205}\\ \AA\approx 2,0345\\ \AA.
(Arredondei para 4 casas decimais mantidas de forma consistente; se quiser mais casas, dá para refinar.)

Passo 4

Fórmula de difração (Bragg) e explicação:
A condição de interferência construtiva para raios X que incidem em planos cristalinos é a Lei de Bragg:
2\,d\,\sin\theta = n\,\lambda.
Onde:
  • d é o espaçamento entre planos (já calculado),
  • \theta é o ângulo de Bragg (ângulo entre o feixe incidente e o plano cristalino),
  • n é a ordem da difração (inteiro positivo). Normalmente tomamos n=1 (primeira ordem), que é a mais intensa e a que se usa para a maioria dos cálculos básicos,
  • \lambda é o comprimento de onda da radiação usada.

Passo 5

Resolver para \theta. Isolando \sin\theta:
\sin\theta=\frac{n\,\lambda}{2d}.
Tomando n=1, \lambda=1,54\\ \AA e d=d_{111}\approx 2,0345\\ \AA,
\sin\theta \approx \frac{1,54}{2\cdot 2,0345}=\frac{1,54}{4,0690}\approx 0,37834.
Agora encontramos \theta=\arcsin(0,37834). Usando aproximação por interpolação entre valores conhecidos ( \sin 22^\circ\approx 0,37461 e \sin 22{,}5^\circ\approx 0,38268) ou uma calculadora, obtemos
\theta \approx 22{,}23^\circ.

Passo 6

Observação prática (útil na prova): muitos equipamentos e tabelas de difração relatam o pico em função de 2\theta (a posição do pico no difratômetro), que é simplesmente o dobro do ângulo de Bragg. Assim
2\theta \approx 2\cdot 22{,}23^\circ \approx 44{,}46^\circ.

Resposta

d_{111}\approx 2,0345\\ \AA
\theta\approx 22{,}23^\circ (portanto 2\theta\approx 44{,}46^\circ)

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