2.24 Se o diâmetro de uma tubulação de aço rebitado for duplicado, que efeito isto provoca na vazão, para uma dada perda de carga constante, considerando que ambos os escoamentos são laminares.
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o efeito sobre a vazão quando o diâmetro de uma tubulação rebitada é duplicado, mantendo-se uma dada perda de carga constante, e considerando que ambos os escoamentos são laminares. Informações relevantes dadas no enunciado:
(diâmetro duplicado)
a perda de carga (head loss) é a mesma nos dois casos (constante)
os dois escoamentos são laminares
o objetivo é comparar as vazões e
e obter a relação entre elas (o enunciado sugere
)
a perda de carga (head loss) é a mesma nos dois casos (constante)
os dois escoamentos são laminares
o objetivo é comparar as vazões
Passo 2
Apresento a lei que descreve vazão em escoamento laminar totalmente desenvolvido em tubo circular (Hagen–Poiseuille). Essa fórmula vale para escoamento estacionário, incompressível, Newtoniano, laminar e em tubo circular com perfil plenamente desenvolvido. A expressão clássica é:
Expliquei o que cada símbolo significa:
= vazão volumétrica (m³/s)
= perda de pressão ao longo do comprimento
(Pa)
= diâmetro interno do tubo (m)
= viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s)
= comprimento do trecho considerado (m)
A constante vem da solução analítica do perfil parabólico de velocidade no regime laminar.
A constante
Passo 3
Relaciono perda de carga com perda de pressão: a perda de carga em altura
corresponde a uma perda de pressão
. Como o enunciado diz que a perda de carga é dada (constante), isso implica que
é a mesma nos dois casos (assumindo o mesmo fluido, então
e
são os mesmos). Além disso, para comparar as duas situações assumimos o mesmo comprimento
do trecho e a mesma viscosidade
(mesmo fluido e temperatura). Portanto, nas duas situações as quantidades
,
e
são constantes.
Passo 4
Com
,
e
fixos, a fórmula de Hagen–Poiseuille mostra que a vazão depende do quarto poder do diâmetro. Explicitamente escrevo as vazões nos dois casos:
Faço a razão entre as duas vazões para cancelar as quantidades constantes:
Isto mostra a proporcionalidade importante:
quando
são fixos.
Passo 5
Substituo agora
na relação obtida:
Portanto
.
Passo 6
Interpretação física e observação prática (curtiinha e motivadora): dobrar o diâmetro reduz fortemente a resistência viscosa ao escoamento porque a resistência em regime laminar escala com
. Por isso um pequeno aumento no diâmetro causa um grande aumento na vazão para a mesma perda de carga. Então, se você estiver pensando em projeto, aumentar o diâmetro costuma ser uma medida muito eficaz para aumentar vazão ou reduzir perda de carga — embora tenha custo e outras implicações.