2.24 Se o diâmetro de uma tubulação de aço rebitado for duplicado, que efeito isto provoca na vazão, para uma dada perda de carga constante, considerando que ambos os escoamentos são laminares.
\left[\mathrm{Q}_{2}=16 \cdot \mathrm{Q}_{1}\right]

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o efeito sobre a vazão quando o diâmetro de uma tubulação rebitada é duplicado, mantendo-se uma dada perda de carga constante, e considerando que ambos os escoamentos são laminares. Informações relevantes dadas no enunciado:
\mathrm{D}_2 = 2\cdot\mathrm{D}_1 (diâmetro duplicado)
a perda de carga (head loss) é a mesma nos dois casos (constante)
os dois escoamentos são laminares
o objetivo é comparar as vazões \mathrm{Q}_1 e \mathrm{Q}_2 e obter a relação entre elas (o enunciado sugere \mathrm{Q}_{2}=16\cdot\mathrm{Q}_{1})

Passo 2

Apresento a lei que descreve vazão em escoamento laminar totalmente desenvolvido em tubo circular (Hagen–Poiseuille). Essa fórmula vale para escoamento estacionário, incompressível, Newtoniano, laminar e em tubo circular com perfil plenamente desenvolvido. A expressão clássica é:
\mathrm{Q} = \frac{\pi\,\Delta P\,\mathrm{D}^4}{128\,\mu\,L}
Expliquei o que cada símbolo significa:
\mathrm{Q} = vazão volumétrica (m³/s)
\Delta P = perda de pressão ao longo do comprimento L (Pa)
\mathrm{D} = diâmetro interno do tubo (m)
\mu = viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s)
L = comprimento do trecho considerado (m)
A constante \pi/128 vem da solução analítica do perfil parabólico de velocidade no regime laminar.

Passo 3

Relaciono perda de carga com perda de pressão: a perda de carga em altura \mathrm{h}_f corresponde a uma perda de pressão \Delta P = \rho g \mathrm{h}_f. Como o enunciado diz que a perda de carga é dada (constante), isso implica que \Delta P é a mesma nos dois casos (assumindo o mesmo fluido, então \rho e g são os mesmos). Além disso, para comparar as duas situações assumimos o mesmo comprimento L do trecho e a mesma viscosidade \mu (mesmo fluido e temperatura). Portanto, nas duas situações as quantidades \Delta P, \mu e L são constantes.

Passo 4

Com \Delta P, \mu e L fixos, a fórmula de Hagen–Poiseuille mostra que a vazão depende do quarto poder do diâmetro. Explicitamente escrevo as vazões nos dois casos:
\mathrm{Q}_1 = \frac{\pi\,\Delta P\,\mathrm{D}_1^4}{128\,\mu\,L},\qquad \mathrm{Q}_2 = \frac{\pi\,\Delta P\,\mathrm{D}_2^4}{128\,\mu\,L}
Faço a razão entre as duas vazões para cancelar as quantidades constantes:
\frac{\mathrm{Q}_2}{\mathrm{Q}_1} = \frac{\mathrm{D}_2^4}{\mathrm{D}_1^4} = \left(\frac{\mathrm{D}_2}{\mathrm{D}_1}\right)^4.
Isto mostra a proporcionalidade importante: \mathrm{Q}\propto \mathrm{D}^4 quando \Delta P,\mu,L são fixos.

Passo 5

Substituo agora \mathrm{D}_2 = 2\cdot\mathrm{D}_1 na relação obtida:
\frac{\mathrm{Q}_2}{\mathrm{Q}_1} = \left(\frac{2\mathrm{D}_1}{\mathrm{D}_1}\right)^4 = 2^4 = 16.
Portanto \mathrm{Q}_2 = 16\cdot\mathrm{Q}_1.

Passo 6

Interpretação física e observação prática (curtiinha e motivadora): dobrar o diâmetro reduz fortemente a resistência viscosa ao escoamento porque a resistência em regime laminar escala com 1/\mathrm{D}^4. Por isso um pequeno aumento no diâmetro causa um grande aumento na vazão para a mesma perda de carga. Então, se você estiver pensando em projeto, aumentar o diâmetro costuma ser uma medida muito eficaz para aumentar vazão ou reduzir perda de carga — embora tenha custo e outras implicações.

Resposta

\mathrm{Q}_{2}=16\cdot \mathrm{Q}_{1}

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