A resistência de um aquecedor de 2 kW (calor gerado) usado para ferver água é um fio com condutividade térmica \mathrm{k}=20 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, diâmetro \mathrm{D}=4 \mathrm{~mm} e comprimento \mathrm{L}=1 \mathrm{~m}. Considerando que a temperatura do centro do fio da resistência é de 330^{\circ} \mathrm{C}, determine:
  • A equação da difusão de calor e apresente o valor de suas constantes.
  • A temperatura externa do fio.
  • Determinada a temperatura externa da tubulação, considere se um recobrimento 4 mm com um material isolante de \mathrm{k}=3 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} vai reduzir a transferência de calor ao entorno. (considere que \mathrm{h}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras.
Informações fornecidas:
  • Potência total liberada pelo fio: Q=2{,}0\\ \mathrm{kW}=2000\\ \mathrm{W}.
  • Geometria do fio: diâmetro D=4\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m}, logo raio R=\dfrac{D}{2}=0{,}002\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do fio: L=1\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do material do fio: k=20\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}.
  • Temperatura no centro (eixo) do fio: T(0)=330^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção com o entorno: h=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m^2K}.
  • Para o recobrimento: espessura t=4\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m} e condutividade k_{\text{ins}}=3\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}.
Perguntas:
  1. Escrever a equação de difusão (equação de condução no regime estacionário com geração volumétrica) e apresentar os valores das constantes necessários (por exemplo a taxa de geração volumétrica q''').
  2. Determinar a temperatura externa do fio (temperatura na superfície radial r=R).
  3. A partir da temperatura externa calculada, verificar se um recobrimento de espessura 4\\ \mathrm{mm} com k=3\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK} reduz a transferência de calor ao entorno (usar h=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m^2K}).

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular a geração volumétrica de calor q''' (potência por unidade de volume), assumindo que a potência Q é gerada uniformemente no volume do fio. O volume do fio é
V=\pi R^{2}L=\pi (0{,}002)^{2}\cdot 1=\pi\cdot 4\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.
Logo
q'''=\dfrac{Q}{V}=\dfrac{2000}{\pi\cdot4\times10^{-6}}\\ \mathrm{W/m^{3}}.
Vou deixar o valor numérico explícito: calculemos
q'''=\dfrac{2000}{\pi\cdot4\times10^{-6}}\approx 1{,}59154943\times10^{8}\\ \mathrm{W/m^{3}}.

Passo 3

Agora escrever a equação diferencial de condução para regime estacionário, simetria cilíndrica (dependência só de r), com geração volumétrica uniforme q'''. A equação em coordenadas cilíndricas (sem variação axial ou angular) é
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)+\frac{q'''}{k}=0.
Essa é a equação de difusão (condução estacionária) que o enunciado pede. As constantes já encontradas/fornecidas são:
q'''\approx 1{,}5915\times10^{8}\\ \mathrm{W/m^{3}},\qquad k=20\\ \mathrm{W/mK}.

Passo 4

Resolver a equação para T(r). Integramos a equação ordinária:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=-\frac{q'''}{k}.
Multiplicando por r e integrando:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=-\frac{q'''}{k}r
r\frac{dT}{dr}=-\frac{q'''}{2k}r^{2}+C_{1}
\frac{dT}{dr}=-\frac{q'''}{2k}r+\frac{C_{1}}{r}.
Para que a solução seja finita em r=0 (não pode haver termo \ln r singular no centro), devemos ter C_{1}=0. Integramos novamente:
T(r)=-\frac{q'''}{4k}r^{2}+C_{2}.
A constante C_{2} é a temperatura no centro: C_{2}=T(0). Portanto a solução é
\boxed{\,T(r)=T(0)-\dfrac{q'''}{4k}r^{2}\,}
com T(0)=330^\circ\mathrm{C} e q''',k dados acima.

Passo 5

Agora obtenha a temperatura na superfície do fio, T_{s}=T(R). Usando a solução,
T_{s}=T(0)-\dfrac{q'''}{4k}R^{2}.
Substituindo os valores numéricos:
\frac{q'''}{4k}=\frac{1{,}59154943\times10^{8}}{4\cdot 20}= \frac{1{,}59154943\times10^{8}}{80}\approx 1{,}9894368\times10^{6}\\ \mathrm{K/m^{2}}.
Multiplicando por R^{2}=(0{,}002)^{2}=4\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}:
\dfrac{q'''}{4k}R^{2}\approx 1{,}9894368\times10^{6}\times4\times10^{-6}\approx 7{,}957747.
Logo
T_{s}=330^\circ\mathrm{C}-7{,}957747\\ \mathrm{K}\approx 322{,}04^\circ\mathrm{C}.
(Arredondei para duas casas decimais: T_{s}\approx 322{,}04^\circ\mathrm{C}.)
Observação física rápida — só pra clarear: esse cálculo usa apenas a distribuição interna de temperatura obtida pela geração volumétrica e condutividade do fio; não foi necessário conhecer T_{\infty} (temperatura ambiente) para obter T_s a partir de T(0).

Passo 6

Agora avaliar o efeito do recobrimento isolante de espessura t=4\\ \mathrm{mm} e k_{\text{ins}}=3\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}. A maneira prática é comparar as resistências térmicas entre o centro e o ambiente (ou melhor: entre a superfície do metal e o ambiente), mas como o enunciado nos dá T(0) fixo, basta comparar a resistência térmica da superfície direta com a resistência quando houver o isolante: para o fluxo de calor por unidade de comprimento (já que L=1\\ \mathrm{m}).
Resistência convectiva sem isolante (por metro de comprimento):
R_{\text{conv,sem}}=\dfrac{1}{h\cdot 2\pi R L}=\dfrac{1}{10\cdot2\pi\cdot0{,}002\cdot1}\approx 7{,}957747\\ \mathrm{K/W}.
Com isolante: raio externo r_{2}=R+t=0{,}002+0{,}004=0{,}006\\ \mathrm{m}.
Resistência de condução no revestimento (por metro):
R_{\text{cond,ins}}=\dfrac{1}{2\pi k_{\text{ins}} L}\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{R}\right) =\dfrac{1}{2\pi\cdot 3\cdot1}\ln\!\left(\dfrac{0{,}006}{0{,}002}\right).
Calculemos:
\ln\!\left(\dfrac{0{,}006}{0{,}002}\right)=\ln 3\approx 1{,}0986123,
R_{\text{cond,ins}}\approx \dfrac{1{,}0986123}{2\pi\cdot 3}\approx 0{,}058293\\ \mathrm{K/W}.
Resistência convectiva externa (sobre o raio r_{2}):
R_{\text{conv,com}}=\dfrac{1}{h\cdot 2\pi r_{2} L}=\dfrac{1}{10\cdot 2\pi\cdot 0{,}006\cdot1}\approx 2{,}652582\\ \mathrm{K/W}.
Resistência total com o isolante (condução no isolante + convecção externa):
R_{\text{total,com}}=R_{\text{cond,ins}}+R_{\text{conv,com}}\approx 0{,}058293+2{,}652582\approx 2{,}710875\\ \mathrm{K/W}.
Compare:
R_{\text{total,sem}}=R_{\text{conv,sem}}\approx 7{,}957747\\ \mathrm{K/W}, \qquad R_{\text{total,com}}\approx 2{,}710875\\ \mathrm{K/W}.

Passo 7

Interpretação e conclusão didática: como estamos tratando o caso em que a temperatura do centro foi dada e fixa ( T(0)=330^\circ\mathrm{C}), o fluxo de calor para o ambiente será proporcional à diferença de temperatura dividida pela resistência térmica total. Ao adicionar o revestimento a resistência total caiu de aproximadamente 7{,}96\\ \mathrm{K/W} para 2{,}71\\ \mathrm{K/W}. Ou seja, com esse material e essa espessura o efeito dominante é aumentar a área externa (o raio externo triplica) e o material isolante aqui tem condutividade relativamente alta e pouca espessura, de modo que a resistência de condução adicionada é pequena em comparação com a queda na resistência convectiva causada pelo aumento de área. Portanto o recobrimento, com os valores dados, NÃO reduz a transferência de calor ao entorno — na verdade ele aumenta a transferência (para a mesma diferença de temperatura T(0)−T∞ seria maior o fluxo com o revestimento).
Observação prática e empática: isso é contraintuitivo à primeira vista — “colocar isolamento aumenta a perda” — mas é porque o revestimento aumenta muito a área de perda e o material não é um bom isolante (k relativamente alto) na espessura dada. Em engenharia sempre compare as resistências térmicas antes de assumir que um revestimento qualquer é uma boa isolação.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)+\frac{q'''}{k}=0,\quad q'''=\dfrac{2000}{\pi(0{,}002)^{2}\cdot1}\approx 1{,}5915\times10^{8}\\ \mathrm{W/m^{3}},\\ k=20\\ \mathrm{W/mK}.
T_{s}=T(R)=T(0)-\dfrac{q'''}{4k}R^{2}\approx 322{,}04^\circ\mathrm{C}.
Não — o recobrimento de 4\\ \mathrm{mm} com k=3\\ \mathrm{W/mK} NÃO reduz a transferência de calor; R_{\text{total,sem}}\approx 7{,}9577\\ \mathrm{K/W} e R_{\text{total,com}}\approx 2{,}7109\\ \mathrm{K/W} (logo a transferência aumenta).

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