A resistência de um aquecedor de 2 kW (calor gerado) usado para ferver água é um fio com condutividade térmica
, diâmetro
e comprimento
. Considerando que a temperatura do centro do fio da resistência é de
, determine:
- A equação da difusão de calor e apresente o valor de suas constantes.
- A temperatura externa do fio.
- Determinada a temperatura externa da tubulação, considere se um recobrimento 4 mm com um material isolante de
vai reduzir a transferência de calor ao entorno. (considere que
)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras.
Informações fornecidas:
- Potência total liberada pelo fio:
. - Geometria do fio: diâmetro
, logo raio . - Comprimento do fio:
. - Condutividade térmica do material do fio:
. - Temperatura no centro (eixo) do fio:
. - Coeficiente de convecção com o entorno:
. - Para o recobrimento: espessura
e condutividade .
Perguntas:
- Escrever a equação de difusão (equação de condução no regime estacionário com geração volumétrica) e apresentar os valores das constantes necessários (por exemplo a taxa de geração volumétrica
). - Determinar a temperatura externa do fio (temperatura na superfície radial
). - A partir da temperatura externa calculada, verificar se um recobrimento de espessura
com reduz a transferência de calor ao entorno (usar ).
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular a geração volumétrica de calor
(potência por unidade de volume), assumindo que a potência
é gerada uniformemente no volume do fio. O volume do fio é
Logo
Vou deixar o valor numérico explícito: calculemos
Passo 3
Agora escrever a equação diferencial de condução para regime estacionário, simetria cilíndrica (dependência só de
), com geração volumétrica uniforme
. A equação em coordenadas cilíndricas (sem variação axial ou angular) é
Essa é a equação de difusão (condução estacionária) que o enunciado pede. As constantes já encontradas/fornecidas são:
Passo 4
Resolver a equação para
. Integramos a equação ordinária:
Multiplicando por
e integrando:
Para que a solução seja finita em
(não pode haver termo
singular no centro), devemos ter
. Integramos novamente:
A constante
é a temperatura no centro:
. Portanto a solução é
com
e
dados acima.
Passo 5
Agora obtenha a temperatura na superfície do fio,
. Usando a solução,
Substituindo os valores numéricos:
Multiplicando por
:
Logo
(Arredondei para duas casas decimais:
.)
Observação física rápida — só pra clarear: esse cálculo usa apenas a distribuição interna de temperatura obtida pela geração volumétrica e condutividade do fio; não foi necessário conhecer
(temperatura ambiente) para obter
a partir de
.
Passo 6
Agora avaliar o efeito do recobrimento isolante de espessura
e
. A maneira prática é comparar as resistências térmicas entre o centro e o ambiente (ou melhor: entre a superfície do metal e o ambiente), mas como o enunciado nos dá
fixo, basta comparar a resistência térmica da superfície direta com a resistência quando houver o isolante: para o fluxo de calor por unidade de comprimento (já que
).
Resistência convectiva sem isolante (por metro de comprimento):
Com isolante: raio externo
.
Resistência de condução no revestimento (por metro):
Calculemos:
Resistência convectiva externa (sobre o raio
):
Resistência total com o isolante (condução no isolante + convecção externa):
Compare:
Passo 7
Interpretação e conclusão didática: como estamos tratando o caso em que a temperatura do centro foi dada e fixa (
), o fluxo de calor para o ambiente será proporcional à diferença de temperatura dividida pela resistência térmica total. Ao adicionar o revestimento a resistência total caiu de aproximadamente
para
. Ou seja, com esse material e essa espessura o efeito dominante é aumentar a área externa (o raio externo triplica) e o material isolante aqui tem condutividade relativamente alta e pouca espessura, de modo que a resistência de condução adicionada é pequena em comparação com a queda na resistência convectiva causada pelo aumento de área. Portanto o recobrimento, com os valores dados, NÃO reduz a transferência de calor ao entorno — na verdade ele aumenta a transferência (para a mesma diferença de temperatura T(0)−T∞ seria maior o fluxo com o revestimento).
Observação prática e empática: isso é contraintuitivo à primeira vista — “colocar isolamento aumenta a perda” — mas é porque o revestimento aumenta muito a área de perda e o material não é um bom isolante (k relativamente alto) na espessura dada. Em engenharia sempre compare as resistências térmicas antes de assumir que um revestimento qualquer é uma boa isolação.
Resposta
Não — o recobrimento de