24- Um estudante analisa diferentes processos termodinâmicos em um motor de combustão interna. Considere as afirmações abaixo à luz da Primeira Lei veja quais são verdadeiras ou falsas e justifica sua resposta.
a. Em uma compressão adiabática, o trabalho realizado sobre o gás aumenta sua energia interna.
b. O calor específico a volume constante é maior que o calor específico a pressão constante para gases ideais.
c. Em uma transformação isocórica, todo o calor trocado modifica a energia interna do sistema.
d. A energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura, independentemente do processo.
e. Em um processo isobárico, o trabalho realizado é dado por
.
a. Em uma compressão adiabática, o trabalho realizado sobre o gás aumenta sua energia interna.
b. O calor específico a volume constante é maior que o calor específico a pressão constante para gases ideais.
c. Em uma transformação isocórica, todo o calor trocado modifica a energia interna do sistema.
d. A energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura, independentemente do processo.
e. Em um processo isobárico, o trabalho realizado é dado por
Passo 1
O enunciado pede que eu analise cinco afirmações sobre processos termodinâmicos à luz da Primeira Lei e diga quais são verdadeiras ou falsas, justificando cada uma. As cinco afirmações são:
a. Em uma compressão adiabática, o trabalho realizado sobre o gás aumenta sua energia interna.
b. O calor específico a volume constante é maior que o calor específico a pressão constante para gases ideais.
c. Em uma transformação isocórica, todo o calor trocado modifica a energia interna do sistema.
d. A energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura, independentemente do processo.
e. Em um processo isobárico, o trabalho realizado é dado por .
b. O calor específico a volume constante é maior que o calor específico a pressão constante para gases ideais.
c. Em uma transformação isocórica, todo o calor trocado modifica a energia interna do sistema.
d. A energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura, independentemente do processo.
e. Em um processo isobárico, o trabalho realizado é dado por
Informações relevantes que temos de usar (essas são ideias que foram dadas implicitamente pelo enunciado e que vou aplicar nas justificativas):
- A Primeira Lei da termodinâmica relaciona variação de energia interna, calor trocado e trabalho realizado.
- Definições básicas de processos:
- Adiabático: sem troca de calor (
). - Isocórico (ou isométrico): volume constante (
). - Isobárico: pressão constante (
constante).
- Adiabático: sem troca de calor (
- Conceitos de calor específico a volume constante
e a pressão constante .
Passo 2
Primeira Lei — interpretação e convenções de sinal (aulas rápidas e essenciais).
A forma mais comum da Primeira Lei é
A forma mais comum da Primeira Lei é
onde:
-
é a variação da energia interna do sistema; -
é o calor recebido pelo sistema (positivo se o sistema recebe calor, negativo se perde calor); -
é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o ambiente, negativo se trabalho é feito sobre o sistema).
Essa forma exige atenção quando falamos de “trabalho realizado sobre o gás”: o trabalho sobre o gás é o negativo do trabalho realizado pelo gás. Se preferirmos a convenção “trabalho sobre o sistema” chamamos esse trabalho de
e escrevemos
onde
. Vou usar essas duas formas quando for conveniente, sempre explicando o que significa cada termo. Essa clareza de sinais é crucial para responder (a).
Passo 3
Análise da afirmação (a): “Em uma compressão adiabática, o trabalho realizado sobre o gás aumenta sua energia interna.”
- O que é compressão adiabática? É um processo em que o volume diminui (compressão) e não há troca de calor com o ambiente, logo
. - Usando a forma com trabalho sobre o sistema:
Como
, fica
Em uma compressão,
(está sendo feito trabalho sobre o gás), logo
: a energia interna aumenta.
3) Interpretando com a forma : durante compressão o trabalho realizado pelo sistema
é negativo (o sistema não está fazendo trabalho, está sendo comprimido), então
e
. Mesma conclusão.
3) Interpretando com a forma
Exemplo intuitivo: comprimir rapidamente um gás em um pistão sem permitir troca de calor faz a temperatura subir — isso corresponde a aumento de
.
Conclusão: a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmação (b): “O calor específico a volume constante é maior que o calor específico a pressão constante para gases ideais.”
Primeiro, defino os calores específicos molares (ou por massa) para clareza:
-
é o calor molar a volume constante definido por
ou seja, quanto a energia interna varia por unidade de temperatura mantendo o volume constante.
-
é o calor molar a pressão constante definido por
onde
é a entalpia
.
Para um gás ideal (uma molécula ideal sem interações potenciais), vale a equação de estado por mol
onde
é a constante universal dos gases. Então, a entalpia por mol é
Derivando em relação a
a pressão constante:
Isso mostra claramente que, para um gás ideal,
Intuição física: a um volume constante todo calor fornecido vai para aumentar a energia interna; a pressão constante exige calor adicional para compensar o trabalho de expansão, então é necessário mais calor por grau (logo
maior).
Exemplo numérico (gás monoatômico ideal):
e
, consistentemente
.
A afirmação (b) diz que
é maior que
. Isso contradiz a relação acima, então a afirmação (b) é falsa.
Passo 5
Análise da afirmação (c): “Em uma transformação isocórica, todo o calor trocado modifica a energia interna do sistema.”
Definição isocórica:
. O trabalho realizado pelo sistema é
Se
, então
. Aplicando a Primeira Lei
, obtemos com
:
Isso significa que todo o calor que entra ou sai do sistema se manifesta como variação da energia interna. (Usando a fórmula alternativa
, temos
e a mesma conclusão.)
Exemplo prático: aquecer um gás dentro de um recipiente rígido (volume fixo) aumenta sua temperatura — o calor fornecido vai integralmente para elevar
.
Portanto, a afirmação (c) é verdadeira.
Passo 6
Análise da afirmação (d): “A energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura, independentemente do processo.”
Explicação física e matemática: no modelo de gás ideal não há energia potencial entre moléculas (não há interações além de colisões elásticas). A energia interna é então a soma das energias cinéticas das moléculas, e a energia cinética média é uma função somente da temperatura. Assim, para um gás ideal (em regime clássico e sem efeitos quânticos complicados), pode-se escrever por mol:
e a diferencial é
Ou seja,
é função apenas de
; não depende separadamente de
ou
para um gás ideal (seja qual for o caminho tomado entre dois estados térmicos, se ambos têm mesma temperatura a energia interna é a mesma).
Observações de caveat (importantes em provas):
- Em modelos mais refinados (gases reais, interações, energia potencial ou modos de vibração que entram em jogo conforme
cresce), a dependência pode ser mais complexa; ainda assim muitas vezes pode-se escrever para muitos gases sob condições onde o modelo ideal é válido. - Para o enunciado típico de termodinâmica clássica, a afirmação dada é aceita como verdadeira: para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura, independentemente do processo.
Portanto, a afirmação (d) é verdadeira.
Passo 7
Análise da afirmação (e): “Em um processo isobárico, o trabalho realizado é dado por
.”
Definição isobárica: pressão constante
constante durante o processo. O trabalho feito pelo sistema entre volumes inicial e final é
Se
é constante, a integral se torna
Observação sobre sinais (muito importante): aqui
é o trabalho realizado pelo sistema. Se a questão quer o trabalho realizado sobre o sistema (compressão), o valor numérico será
. Normalmente, em termodinâmica, a fórmula
é entendida como trabalho realizado pelo gás durante uma expansão isobárica.
Portanto, tomado no sentido padrão (trabalho realizado pelo sistema), a afirmação (e) é verdadeira.
Resposta
a) Verdadeira
b) Falsa
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Verdadeira
b) Falsa
c) Verdadeira
d) Verdadeira
e) Verdadeira