24.24 A mixture 1.0 \mathrm{~mol} \% \mathrm{O}_{2} (species A ) in a helium carrler gas (species B) enters the microscale chamber. The chamber consists of a channel that is 5.0 \mu \mathrm{~m} (microns) in diameter. The total system pressure within the chamber is 300 Pa , which is very small. The chamber temperature is maintained at 100^{\circ} \mathrm{C}. The molecular weight of oxygen is 32 \mathrm{~g} / \mathrm{g}. mol and helium is 4.0 \mathrm{~g} / \mathrm{g}. mol.
a. What is the molar concentration of oxygen gas at the entrance to the microchamber?
b. What is the effective diffusion coefficent of \mathrm{O}_{2}\left(D_{A_{e z}}\right) within the microchamber?

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento de uma mistura gasosa com 1{,}0\% em mol de \mathrm{O}_2 (espécie A) em hélio (espécie B) numa microcâmara de diâmetro 5{,}0\\ \mu\text{m}, pressão total \,P=300\\ \text{Pa} e temperatura 100^\circ\text{C} T=373\\ \text{K}.
Conteúdo:
– Uso da lei dos gases ideais para encontrar a concentração molar de A.
– Cálculo do coeficiente de difusão molecular D_{AB} via correlação de Chapman–Enskog.
– Cálculo do coeficiente de difusão de Knudsen D_{Kn}.
– Combinação série de D_{AB} e D_{Kn} para obter o difusivo efetivo D_{A,e}.

Passo 2

Aplicamos a lei dos gases ideais para a concentração total C e depois extraímos a parte de A:
C = \frac{P}{R\,T} \quad\Longrightarrow\quad C_A = y_A\,C = y_A\,\frac{P}{R\,T}.
Substituindo y_A=0{,}01, P=300\\ \text{Pa}, R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} e T=373\\ \text{K},
C_A = 0{,}01\,\frac{300}{8{,}314\times 373} \approx 9{,}7\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol/m^3}.

Passo 3

Estimamos o coeficiente de difusão molecular de \mathrm{O}_2 em He pela correlação
D_{AB} = D_{AB,\mathrm{ref}}\, \Bigl(\tfrac{T}{T_{\mathrm{ref}}}\Bigr)^{1{,}75} \frac{P_{\mathrm{ref}}}{P},
usando D_{AB,\mathrm{ref}}\approx 8{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s} a T_{\mathrm{ref}}=300\\ \text{K} e P_{\mathrm{ref}}=10^5\\ \text{Pa}.
Então
D_{AB} = 8{,}0\times 10^{-5} \Bigl(\tfrac{373}{300}\Bigr)^{1{,}75} \frac{10^5}{300} \approx 3{,}9\times 10^{-2}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 4

O coeficiente de difusão de Knudsen em um canal de raio r_p=D/2=2{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m} é
D_{Kn} = \frac{2}{3}\,r_p\, \sqrt{\frac{8\,R\,T}{\pi\,M_A}},
com M_A=32\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
Numericamente,
D_{Kn} = \frac{2}{3}\,(2{,}5\times10^{-6}) \sqrt{\frac{8 \times 8{,}314 \times 373}{\pi \times 32\times10^{-3}}} \approx 8{,}3\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 5

No regime de difusão em canal liso, o difusivo efetivo combina D_{AB} e D_{Kn} em série:
\frac{1}{D_{A,e}} = \frac{1}{D_{AB}} + \frac{1}{D_{Kn}} \quad\Longrightarrow\quad D_{A,e} = \frac{D_{AB}\,D_{Kn}}{D_{AB} + D_{Kn}}.
Substituindo D_{AB}=3{,}9\times10^{-2} e D_{Kn}=8{,}3\times10^{-4},
D_{A,e} \approx \frac{3{,}9\times10^{-2}\times8{,}3\times10^{-4}} {3{,}9\times10^{-2} + 8{,}3\times10^{-4}} \approx 8{,}1\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s}.

Resposta

a. C_A \approx 9{,}7\times10^{-4}\\ \mathrm{mol/m^3}.
b. D_{A,e} \approx 8{,}1\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s}.

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