24.25 Consider a single, porous, spherical, inert mineral particle. The pores inside the particle are filled with liquid water (species B). We are interested in analyzing the molecular diffusion of the contaminant benzene \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6}, species A within the water-filled pores of the particle. The average diameter of the pores is 150 nm and the void fraction is 0.40 . The benzene solute does not adsorb onto the intersurfaces of the pores. Benzene is very sparingly soluble in water and has a molecular diameter of 0.15 nm . The process is isothermal at 298 K . The concentration of dissolved benzene in the water surrounding the particle, C_{A_{c}},
is constant with time. Initially, there is no dissolved benzene inside the water-filled pores. The critical volume ( V_{c} ) of benzene is 259 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{g} . \mathrm{mol}.
What is the effective diffusion coefficient of benzene inside the porous particle? Is pore diffusion important?

Passo 1

O enunciado trata da difusão molecular de benzeno (espécie A) em água dentro dos poros de uma partícula esférica inerte. Dados principais:
• diâmetro médio dos poros: d_p = 150\,\text{nm} = 150\times10^{-9}\,\mathrm{m}
• fração de vazio (porosidade): \varepsilon = 0,40
• volume crítico do benzeno: V_c = 259\,\mathrm{cm^3/mol}
• temperatura: T = 298\,\mathrm{K}
• não há adsorção e a concentração externa de benzeno dissolvido é constante.
Queremos achar o coeficiente de difusão efetivo D_e dentro da matriz porosa e decidir se a difusão nos poros impõe limitação significativa.

Passo 2

Estimamos o coeficiente de difusão molecular do benzeno em água, D_{AB}, usando a correlação de Wilke–Chang:
D_{AB} = \frac{7{,}4\times10^{-8}\,\bigl(\varphi\,M_B\bigr)^{1/2}\,T} {\mu_B\,V_A^{0{,}6}} \quad\bigl[\mathrm{cm^2/s}\bigr]
onde \varphi=2{,}26 (fator de associação da água), M_B = 18\,\mathrm{g/mol}, \mu_B = 0{,}89\,\mathrm{cP}, V_A\approx V_c = 259\,\mathrm{cm^3/mol}.
Cálculo de V_A^{0{,}6}:
V_A^{0{,}6} = 259^{0{,}6}\approx28{,}0.
Logo,
D_{AB} = \frac{7{,}4\times10^{-8}\,(2{,}26 \times 18)^{1/2}\times298} {0{,}89\times28{,}0} \approx 5,6\times10^{-6}\,\mathrm{cm^2/s} =5,6\times10^{-10}\,\mathrm{m^2/s}.

Passo 3

O coeficiente de difusão efetivo em meios porosos sem adsorção é dado por
D_e = \frac{\varepsilon}{\tau}\;D_{AB},
onde \tau é a tortuosidade. Para um meio poroso típico tomamos \tau\approx2. Assim,
D_e = \frac{0,40}{2}\;5,6\times10^{-10} \approx1,12\times10^{-10}\,\mathrm{m^2/s}.

Passo 4

Comparando D_e com D_{AB}:
\frac{D_e}{D_{AB}} \approx \frac{1,1\times10^{-10}}{5,6\times10^{-10}}\approx0,20.
Ou seja, a difusão nos poros reduz o coeficiente em cerca de 80 %. Porém o valor ainda é da ordem de 10^{-10}\,\mathrm{m^2/s}, típico de difusão em líquidos, e não há regime de difusão de Knudsen (os poros têm diâmetro 1000\times maior que o diâmetro molecular).
Portanto, existe incremento de resistência devido à estrutura porosa (tortuosa), mas não se enquadra em difusão de Knudsen e o transporte continua em regime molecular típico de líquidos.

Resposta

O coeficiente de difusão efetivo é
D_e \approx 1,1\times10^{-10}\,\mathrm{m^2/s}.
A difusão nos poros é moderadamente importante (reduzido em \approx 80 % em relação ao valor livre em água), mas permanece em regime molecular (não há difusão de Knudsen).

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