[25] Um bloco de madeira de massa M está inicialmente em repouso sobre uma superfície plana horizontal. Um projétil de massa m é disparado contra o bloco com velocidade horizontal de módulo v e fica cravado no bloco que passa a deslizar sobre o plano. Se o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é mud, em termos dessas quantidades dadas e g, qual é a distância que o bloco percorre sobre o plano até parar?

Passo 1

Então, galera, vamos resolver esse exercício de física juntos! A gente tem um bloco de madeira parado sobre uma superfície horizontal. Um projétil é disparado contra esse bloco e fica preso nele. Depois disso, o bloco com o projétil começa a deslizar até parar devido ao atrito. Para resolver, vamos usar conceitos de conservação de momento linear e cinética do atrito. Precisamos das massas e , da velocidade do projétil, do coeficiente de atrito cinético e da aceleração da gravidade .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do bloco e do projétil juntos logo após a colisão. Como o projétil fica preso no bloco, é uma colisão inelástica. Nesses casos, o momento total é conservado. A fórmula para isso é:
m cdot v = (M + m) cdot V
Onde:
  • é a massa do projétil,
  • é a velocidade do projétil antes da colisão,
  • é a massa do bloco,
  • é a velocidade comum após a colisão.

Passo 3

Vamos resolver a equação para encontrar V = m cdot vM + m :
Então, a velocidade inicial do bloco com o projétil preso é .

Passo 4

Agora, vamos determinar quanto tempo o bloco e o projétil levam para parar devido ao atrito. O atrito fornece uma força de resistência que desacelera o movimento. A força de atrito Fatrito = mud cdot N é dada por:
Fatrito = mud cdot (M + m) cdot g
Onde é a força normal. Em uma superfície horizontal, . Então:

Passo 5

A desaceleração F = m cdot a causada pelo atrito pode ser encontrada usando a segunda lei de Newton:
mud cdot (M + m) cdot g = (M + m) cdot a
Aqui, a massa é a = mud cdot g e a força é :
Simplificando, temos:
Essa é a desaceleração constante do bloco e do projétil.

Passo 6

Agora, queremos encontrar a distância V^2 = V0^2 + 2 cdot a cdot d que o bloco percorre até parar. Podemos usar a equação da cinemática para movimento uniformemente acelerado:
0 = ( m cdot vM + m )^2 + 2 cdot (-mud cdot g) cdot d
Aqui, é a velocidade final (0, já que para), é a velocidade inicial , e é a desaceleração (o sinal negativo indica que está desacelerando).
Substituindo os valores:

Passo 7

Resolvendo para ( m cdot vM + m )^2 = 2 cdot mud cdot g cdot d :
d = ( m cdot vM + m )^22 cdot mud cdot g
d = m^2 cdot v^22 cdot mud cdot g cdot (M + m)^2
Simplificando:

Resposta

A distância que o bloco percorre até parar é:
d = m^2 cdot v^22 cdot mud cdot g cdot (M + m)^2

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