( 25 pontos) Um duto não isolado de um sistema de aquecimento central, de seção retangular, com arestas de 12 cm e 18 cm , e com 8 m de comprimento, atravessa uma sala cuja temperatura do ar e das paredes é 15^{\circ} \mathrm{C}. O ar quente no seu interior mantém a temperatura na superficie do duto igual a 30^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo-se que o cocficiente associado à convecção natural do ar é de \mathrm{h}=8 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2} \cdot \mathrm{~K}^{-1}, e que as paredes do duto apresentam emissividade igual a 0,90 e que podem ser consideradas como superficies cinzas, determine:
a. A taxa liquida de calor, transferida por radiaçāo, pelo duto;
b. A irradiaçāo da superficie do duto e a irradiação absorvida;
c. A taxa de calor transferida pela superficie do duto, considerando radiação e convecção.
Passo 1
Vou explicitar o que o enunciado pede e listar todos os dados fornecidos (sem começar a resolver ainda).
O enunciado pede:
a) A taxa líquida de calor transferida por radiação pelo duto.
b) A irradiação (emissão) da superfície do duto e a irradiação absorvida.
c) A taxa de calor total transferida pela superfície do duto, considerando radiação e convecção.
Dados (retirados do enunciado / figura):
Seção retangular com arestas \,0{,}12\\ \mathrm{m} e \,0{,}18\\ \mathrm{m}.
Comprimento do duto: \,8{,}0\\ \mathrm{m}.
Temperatura da superfície do duto: \,T_s=30^{\circ}\mathrm{C}.
Temperatura do ar / paredes da sala (ambiente): \,T_\infty=15^{\circ}\mathrm{C}.
Coeficiente de convecção natural: \,h=8\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
Emissividade das paredes do duto: \,\varepsilon=0{,}90.
As superfícies do ambiente são consideradas corpos negros à temperatura \,T_\infty (ou seja o duto “vê” as paredes a \,T_\infty com fator de vista unitário).
Constante de Stefan–Boltzmann: \displaystyle \sigma = 5{,}67\times 10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
Observação: todas as temperaturas serão convertidas para kelvin para uso nas leis térmicas. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Calcular a área externa total do duto (área de troca por radiação e convecção).
Área lateral total (área de parede do duto ao longo do comprimento):A = P\cdot L = 0{,}60 \cdot 8{,}0 = 4{,}8\\ \mathrm{m^{2}}.
Vou usar essa área A=4{,}8\\ \mathrm{m^{2}} nas contas seguintes.
Passo 3
Determinar a taxa líquida de calor por radiação (item a). Primeiro explicar a fórmula e as variáveis.
Lei de Stefan–Boltzmann para superfície cinza em frente a um ambiente que se comporta como corpo negro (view factor 1): a taxa líquida de radiação por unidade de área é
Portanto a taxa líquida de calor por radiação é aproximadamente \,379{,}5\\ \mathrm{W} (perda do duto para a sala).]
Passo 4
Determinar a irradiação emitida pela superfície do duto e a irradiação absorvida (item b). Vou explicar conceitos e fórmulas.
Definições úteis:
Emissive power (potência emitida por unidade de área) da superfície (para superfície cinza): \displaystyle E=\varepsilon\,\sigma\,T_s^{4}. (Isto é a parte emitida pela superfície.)
Irradiação incidente do ambiente sobre a superfície (assumindo paredes negras a T_{\infty}): \displaystyle G=\sigma\,T_{\infty}^{4}.
Absorção da superfície: como superfície cinza e opaca, o coeficiente de absorção \alpha=\varepsilon (Lei de Kirchhoff). Assim a irradiação absorvida por unidade de área é \displaystyle G_{\mathrm{abs}}=\alpha G=\varepsilon\,\sigma\,T_{\infty}^{4}.
Radiosidade (potência que sai da superfície por emissão + reflexão) seria J=\varepsilon\sigma T_s^{4}+(1-\varepsilon)\sigma T_{\infty}^{4}, se necessário.
Calcular numericamente \sigma T_s^{4} e \sigma T_{\infty}^{4}. Já usamos a diferença antes; pode-se escrever:
Isto é a perda por convecção do duto para o ar da sala.
Passo 6
Combinar radiação e convecção para obter a taxa total de perda do duto (item c).
A transferência total de calor pela superfície é a soma das taxas por radiação e por convecção (ambos saindo do duto):\dot Q_{\mathrm{total}}=\dot Q_{\mathrm{rad}}+\dot Q_{\mathrm{conv}} \approx 379{,}5 + 576{,}0 = 955{,}5\\ \mathrm{W}.
Arredondando, \dot Q_{\mathrm{total}}\approx 956\\ \mathrm{W}. (Perda total do duto para a sala.)
Resposta
a) \dot Q_{\mathrm{rad}}\approx 379{,}5\\ \mathrm{W}
b) Emissão da superfície: \,E\approx 431{,}14\\ \mathrm{W\,m^{-2}} (total \approx 2\,069{,}5\\ \mathrm{W});
Irradiação absorvida: \,G_{\mathrm{abs}}\approx 351{,}95\\ \mathrm{W\,m^{-2}} (total \approx 1\,689{,}4\\ \mathrm{W})
c) Taxa total (radiação + convecção): \dot Q_{\mathrm{total}}\approx 955{,}5\\ \mathrm{W} (aprox. \,956\\ \mathrm{W})