( 25 pontos) Um duto não isolado de um sistema de aquecimento central, de seção retangular, com arestas de 12 cm e 18 cm , e com 8 m de comprimento, atravessa uma sala cuja temperatura do ar e das paredes é 15^{\circ} \mathrm{C}. O ar quente no seu interior mantém a temperatura na superficie do duto igual a 30^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo-se que o cocficiente associado à convecção natural do ar é de \mathrm{h}=8 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2} \cdot \mathrm{~K}^{-1}, e que as paredes do duto apresentam emissividade igual a 0,90 e que podem ser consideradas como superficies cinzas, determine:
a. A taxa liquida de calor, transferida por radiaçāo, pelo duto;

b. A irradiaçāo da superficie do duto e a irradiação absorvida;
c. A taxa de calor transferida pela superficie do duto, considerando radiação e convecção.

Passo 1

Vou explicitar o que o enunciado pede e listar todos os dados fornecidos (sem começar a resolver ainda).
  • O enunciado pede:
    a) A taxa líquida de calor transferida por radiação pelo duto.
    b) A irradiação (emissão) da superfície do duto e a irradiação absorvida.
    c) A taxa de calor total transferida pela superfície do duto, considerando radiação e convecção.
  • Dados (retirados do enunciado / figura):
    • Seção retangular com arestas \,0{,}12\\ \mathrm{m} e \,0{,}18\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento do duto: \,8{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura da superfície do duto: \,T_s=30^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura do ar / paredes da sala (ambiente): \,T_\infty=15^{\circ}\mathrm{C}.
    • Coeficiente de convecção natural: \,h=8\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
    • Emissividade das paredes do duto: \,\varepsilon=0{,}90.
    • As superfícies do ambiente são consideradas corpos negros à temperatura \,T_\infty (ou seja o duto “vê” as paredes a \,T_\infty com fator de vista unitário).
    • Constante de Stefan–Boltzmann: \displaystyle \sigma = 5{,}67\times 10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
Observação: todas as temperaturas serão convertidas para kelvin para uso nas leis térmicas. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Calcular a área externa total do duto (área de troca por radiação e convecção).
  • Perímetro da seção retangular: P = 2\bigl(0{,}12 + 0{,}18\bigr) = 2\cdot 0{,}30 = 0{,}60\\ \mathrm{m}.
  • Área lateral total (área de parede do duto ao longo do comprimento): A = P\cdot L = 0{,}60 \cdot 8{,}0 = 4{,}8\\ \mathrm{m^{2}}.
Vou usar essa área A=4{,}8\\ \mathrm{m^{2}} nas contas seguintes.

Passo 3

Determinar a taxa líquida de calor por radiação (item a). Primeiro explicar a fórmula e as variáveis.
  • Lei de Stefan–Boltzmann para superfície cinza em frente a um ambiente que se comporta como corpo negro (view factor 1): a taxa líquida de radiação por unidade de área é
    \dot q_{\mathrm{rad}}''=\varepsilon\,\sigma\bigl(T_s^{4}-T_{\infty}^{4}\bigr),
    onde T_s e T_{\infty} estão em kelvin e \varepsilon é a emissividade da superfície. A taxa total é \dot Q_{\mathrm{rad}}=A\dot q_{\mathrm{rad}}''.
  • Converter temperaturas:
    T_s=30^{\circ}\mathrm{C}=303{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_{\infty}=15^{\circ}\mathrm{C}=288{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Para calcular T_s^{4}-T_{\infty}^{4} uso a fatoração
    T_s^{4}-T_{\infty}^{4}=(T_s-T_{\infty})\bigl(T_s^{3}+T_s^{2}T_{\infty}+T_sT_{\infty}^{2}+T_{\infty}^{3}\bigr).
    Isso evita calcular quadrados e quartas enormes sem controle.
  • Calcular as potências (valores numéricos):
    \begin{aligned} T_s - T_{\infty} &= 303{,}15 - 288{,}15 = 15{,}0\\ \mathrm{K},\\[4pt] T_s^{2} &= 303{,}15^{2}=91\,899{,}9225\\ \mathrm{K^{2}},\\[4pt] T_{\infty}^{2} &= 288{,}15^{2}=83\,030{,}4225\\ \mathrm{K^{2}},\\[4pt] T_s^{3} &= 27\,859\,461{,}5059\\ \mathrm{K^{3}}\quad(\text{obtido de }T_s^{2}\cdot T_s),\\[4pt] T_{\infty}^{3} &= 23\,925\,216{,}2434\\ \mathrm{K^{3}},\\[4pt] T_s^{2}T_{\infty} &= 26\,480\,962{,}6684\\ \mathrm{K^{3}},\\[4pt] T_sT_{\infty}^{2} &= 25\,170\,672{,}5809\\ \mathrm{K^{3}}. \end{aligned}
  • Somando os termos:
    S = T_s^{3}+T_s^{2}T_{\infty}+T_sT_{\infty}^{2}+T_{\infty}^{3} \approx 103\,436\,312{,}9985\\ \mathrm{K^{3}}.
  • Então
    T_s^{4}-T_{\infty}^{4} = (15{,}0)\cdot S \approx 1{,}551\,544\,695\cdot 10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}.
  • Agora a irradiância líquida por radiação:
    \dot q_{\mathrm{rad}}''=\varepsilon\,\sigma\bigl(T_s^{4}-T_{\infty}^{4}\bigr) =0{,}90\cdot 5{,}67\times 10^{-8}\cdot 1{,}551544695\times 10^{9}.
    Calcule:
    \dot q_{\mathrm{rad}}''\approx 79{,}19\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Taxa líquida total por radiação:
    \dot Q_{\mathrm{rad}} = A\dot q_{\mathrm{rad}}'' = 4{,}8\cdot 79{,}19 \approx 379{,}5\\ \mathrm{W}.
Portanto a taxa líquida de calor por radiação é aproximadamente \,379{,}5\\ \mathrm{W} (perda do duto para a sala).]

Passo 4

Determinar a irradiação emitida pela superfície do duto e a irradiação absorvida (item b). Vou explicar conceitos e fórmulas.
  • Definições úteis:
    • Emissive power (potência emitida por unidade de área) da superfície (para superfície cinza): \displaystyle E=\varepsilon\,\sigma\,T_s^{4}. (Isto é a parte emitida pela superfície.)
    • Irradiação incidente do ambiente sobre a superfície (assumindo paredes negras a T_{\infty}): \displaystyle G=\sigma\,T_{\infty}^{4}.
    • Absorção da superfície: como superfície cinza e opaca, o coeficiente de absorção \alpha=\varepsilon (Lei de Kirchhoff). Assim a irradiação absorvida por unidade de área é \displaystyle G_{\mathrm{abs}}=\alpha G=\varepsilon\,\sigma\,T_{\infty}^{4}.
    • Radiosidade (potência que sai da superfície por emissão + reflexão) seria J=\varepsilon\sigma T_s^{4}+(1-\varepsilon)\sigma T_{\infty}^{4}, se necessário.
  • Calcular numericamente \sigma T_s^{4} e \sigma T_{\infty}^{4}. Já usamos a diferença antes; pode-se escrever:
    \sigma T_s^{4} \approx 479{,}05\\ \mathrm{W\,m^{-2}},\qquad \sigma T_{\infty}^{4}\approx 391{,}06\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
    (Verificação: \sigma(T_s^{4}-T_{\infty}^{4})\approx 87{,}99\\ \mathrm{W\,m^{-2}}, e 479{,}05-391{,}06=87{,}99.)
  • Emissão (irradiação emitida) por unidade de área:
    E=\varepsilon\,\sigma\,T_s^{4}=0{,}90\cdot 479{,}05\approx 431{,}14\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
    Emissão total:
    \dot E_{\text{total}}=E\cdot A \approx 431{,}14\cdot 4{,}8 \approx 2\,069{,}5\\ \mathrm{W}.
  • Irradiação absorvida por unidade de área:
    G_{\mathrm{abs}}=\varepsilon\,\sigma\,T_{\infty}^{4}=0{,}90\cdot 391{,}06\approx 351{,}95\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
    Absorção total:
    \dot G_{\mathrm{abs,total}}=G_{\mathrm{abs}}\cdot A \approx 351{,}95\cdot 4{,}8 \approx 1\,689{,}4\\ \mathrm{W}.
  • Conferência: a diferença entre emissão total e absorção total é a perda líquida por radiação:
    2\,069{,}5 - 1\,689{,}4 \approx 379{,}5\\ \mathrm{W},
    que coincide com \dot Q_{\mathrm{rad}} do Passo 3 (boa verificação).
Resumo numérico por unidade de área:
  • Emissão: \,E\approx 431{,}14\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Irradiação incidente (do ambiente): \,G\approx 391{,}06\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Irradiação absorvida: \,G_{\mathrm{abs}}\approx 351{,}95\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 5

Calcular a taxa de calor por convecção (parte do item c) e explicar.
  • Fórmula da convecção (perda por convecção natural da superfície):
    \dot Q_{\mathrm{conv}} = h A (T_s - T_{\infty}).
    Onde h é o coeficiente convectivo, A a área e as temperaturas em \mathrm{K} ou em \,^{\circ}\mathrm{C} (diferença é a mesma em K ou °C).
  • Substituindo:
    \dot Q_{\mathrm{conv}} = 8{,}0\cdot 4{,}8\cdot 15{,}0 = 576{,}0\\ \mathrm{W}.
Isto é a perda por convecção do duto para o ar da sala.

Passo 6

Combinar radiação e convecção para obter a taxa total de perda do duto (item c).
  • A transferência total de calor pela superfície é a soma das taxas por radiação e por convecção (ambos saindo do duto): \dot Q_{\mathrm{total}}=\dot Q_{\mathrm{rad}}+\dot Q_{\mathrm{conv}} \approx 379{,}5 + 576{,}0 = 955{,}5\\ \mathrm{W}.
Arredondando, \dot Q_{\mathrm{total}}\approx 956\\ \mathrm{W}. (Perda total do duto para a sala.)

Resposta

a) \dot Q_{\mathrm{rad}}\approx 379{,}5\\ \mathrm{W}
b) Emissão da superfície: \,E\approx 431{,}14\\ \mathrm{W\,m^{-2}} (total \approx 2\,069{,}5\\ \mathrm{W});
Irradiação absorvida: \,G_{\mathrm{abs}}\approx 351{,}95\\ \mathrm{W\,m^{-2}} (total \approx 1\,689{,}4\\ \mathrm{W})
c) Taxa total (radiação + convecção): \dot Q_{\mathrm{total}}\approx 955{,}5\\ \mathrm{W} (aprox. \,956\\ \mathrm{W})

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