(25 pontos) Uma mistura de \mathrm{CO}_{2} e \mathrm{N}_{2} encontra-se em um recipiente a 45^{\circ} \mathrm{C}. A pressão parcial do \mathrm{CO}_{2} é de 20 kPa , e a fração mássica do \mathrm{N}_{2} é de 25 \%. Calcule:
(a) a concentração molar de cada espécie;
(b) a concentração mássica de cada espécie;
(c) a fração molar de cada espécie; (d) a pressão parcial do \mathrm{N}_{2}.
Dados: \mathrm{R}=8,3145 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1} ; \mathrm{Mco2}^{2}=44,01 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{kmol}^{-1} ; \mathrm{M}_{\mathrm{N} 2}=28,01 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{kmol}^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá uma mistura gasosa de \mathrm{CO}_{2} e \mathrm{N}_{2} a 45^\circ\mathrm{C} e pede (a) concentrações molares; (b) concentrações mássicas; (c) frações molares; (d) pressão parcial do \mathrm{N}_{2}.
Dados fornecidos:
  • Temperatura: T=45^\circ\mathrm{C}=45+273,15=318,15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão parcial do \mathrm{CO}_2: p_{\mathrm{CO}_2}=20\\ \mathrm{kPa}=20000\\ \mathrm{Pa}.
  • Fração mássica do \mathrm{N}_2: w_{\mathrm{N}_2}=25\%=0,25.
  • Constante dos gases: R=8,3145\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.
  • Massas molares (converter para \mathrm{kg}\cdot\mathrm{mol}^{-1}):
    • M_{\mathrm{CO}_2}=44{,}01\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{kmol}^{-1}=0{,}04401\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
    • M_{\mathrm{N}_2}=28{,}01\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{kmol}^{-1}=0{,}02801\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
O que é pedido (resumido):
(a) c_{\mathrm{CO}_2} e c_{\mathrm{N}_2} (concentrações molares, \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3});
(b) \rho_{\mathrm{CO}_2} e \rho_{\mathrm{N}_2} (concentrações mássicas, \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3});
(c) x_{\mathrm{CO}_2} e x_{\mathrm{N}_2} (frações molares);
(d) p_{\mathrm{N}_2} (pressão parcial do \mathrm{N}_2).

Passo 2

Fórmula fundamental para concentração molar (lei dos gases ideais em forma de densidade molar):
c_i=\frac{p_i}{R\,T},
onde c_i é a concentração molar da espécie i ( \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}), p_i é a pressão parcial ( \mathrm{Pa}), R é a constante dos gases e T é a temperatura absoluta ( \mathrm{K}).
Aplicando para \mathrm{CO}_2 (sabendo p_{\mathrm{CO}_2}):
Calcular primeiro R\,T:
R\,T = 8{,}3145\cdot 318{,}15 = 2645{,}258\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1} = 2645{,}258\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
Agora
c_{\mathrm{CO}_2}=\frac{20000}{2645{,}258}\approx 7{,}56\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
(Arredondei aqui para duas casas decimais significativas compatíveis com os dados; guardarei mais precisão internamente quando necessário.)

Passo 3

Definir concentração mássica de cada espécie:
\rho_i = c_i\,M_i,
onde \rho_i é em \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}, c_i em \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3} e M_i em \mathrm{kg}\cdot\mathrm{mol}^{-1}.
A fração mássica do \mathrm{N}_2 é dada por
w_{\mathrm{N}_2}=\frac{\rho_{\mathrm{N}_2}}{\rho_{\mathrm{N}_2}+\rho_{\mathrm{CO}_2}} =\frac{c_{\mathrm{N}_2}M_{\mathrm{N}_2}}{c_{\mathrm{N}_2}M_{\mathrm{N}_2}+c_{\mathrm{CO}_2}M_{\mathrm{CO}_2}}.
Temos w_{\mathrm{N}_2}=0{,}25 e c_{\mathrm{CO}_2} conhecido; isolamos c_{\mathrm{N}_2}:
Passos algébricos:
c_{\mathrm{N}_2}M_{\mathrm{N}_2}=0{,}25\big(c_{\mathrm{N}_2}M_{\mathrm{N}_2}+c_{\mathrm{CO}_2}M_{\mathrm{CO}_2}\big),
c_{\mathrm{N}_2}M_{\mathrm{N}_2}\big(1-0{,}25\big)=0{,}25\,c_{\mathrm{CO}_2}M_{\mathrm{CO}_2},
c_{\mathrm{N}_2}=\frac{0{,}25}{0{,}75}\cdot\frac{c_{\mathrm{CO}_2}M_{\mathrm{CO}_2}}{M_{\mathrm{N}_2}} =\frac{1}{3}\cdot c_{\mathrm{CO}_2}\cdot\frac{M_{\mathrm{CO}_2}}{M_{\mathrm{N}_2}}.
Agora substituímos valores (usar c_{\mathrm{CO}_2}=7{,}56\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}, M_{\mathrm{CO}_2}=0{,}04401\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{mol}^{-1}, M_{\mathrm{N}_2}=0{,}02801\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{mol}^{-1}):
\frac{M_{\mathrm{CO}_2}}{M_{\mathrm{N}_2}}=\frac{0{,}04401}{0{,}02801}\approx 1{,}571,
c_{\mathrm{N}_2}=\frac{1}{3}\cdot 7{,}56\cdot 1{,}571\approx 3{,}96\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}.

Passo 4

Calcular concentrações mássicas usando \rho_i=c_iM_i:
Para \mathrm{CO}_2:
\rho_{\mathrm{CO}_2}=c_{\mathrm{CO}_2}M_{\mathrm{CO}_2}=7{,}56\cdot 0{,}04401\approx 0{,}333\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
Para \mathrm{N}_2:
\rho_{\mathrm{N}_2}=c_{\mathrm{N}_2}M_{\mathrm{N}_2}=3{,}96\cdot 0{,}02801\approx 0{,}111\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
Breve verificação (checar a fração mássica):
w_{\mathrm{N}_2}=\frac{0{,}111}{0{,}111+0{,}333}=\frac{0{,}111}{0{,}444}\approx 0{,}25,
confirma que os cálculos estão coerentes com o enunciado.

Passo 5

Frações molares: x_i=\dfrac{c_i}{c_{\mathrm{tot}}} com c_{\mathrm{tot}}=c_{\mathrm{CO}_2}+c_{\mathrm{N}_2}.
Calculando:
c_{\mathrm{tot}}=7{,}56+3{,}96=11{,}52\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3},
x_{\mathrm{CO}_2}=\frac{7{,}56}{11{,}52}\approx 0{,}656, \qquad x_{\mathrm{N}_2}=\frac{3{,}96}{11{,}52}\approx 0{,}344.

Passo 6

Pressão parcial do \mathrm{N}_2: usar p_{\mathrm{N}_2}=c_{\mathrm{N}_2}R T (mesma forma que no passo 2) ou p_{\mathrm{N}_2}=x_{\mathrm{N}_2}P_{\text{total}}.
Usando p_{\mathrm{N}_2}=c_{\mathrm{N}_2}R T:
p_{\mathrm{N}_2}=3{,}96\cdot 2645{,}258\\ \mathrm{Pa}\approx 10476\\ \mathrm{Pa}=10{,}48\\ \mathrm{kPa}.
Também o total fica P_{\mathrm{tot}}=p_{\mathrm{CO}_2}+p_{\mathrm{N}_2}\approx 20{,}00+10{,}48=30{,}48\\ \mathrm{kPa}, e verifica-se x_{\mathrm{N}_2}=p_{\mathrm{N}_2}/P_{\mathrm{tot}}\approx 0{,}344, coerente.

Resposta

(a) c_{\mathrm{CO}_2}=7{,}56\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3},\quad c_{\mathrm{N}_2}=3{,}96\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
(b) \rho_{\mathrm{CO}_2}=0{,}333\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3},\quad \rho_{\mathrm{N}_2}=0{,}111\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
(c) x_{\mathrm{CO}_2}=0{,}656,\quad x_{\mathrm{N}_2}=0{,}344.
(d) p_{\mathrm{N}_2}=10{,}48\\ \mathrm{kPa}.

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