(25 pts) Um sistema LTI tem a seguinte resposta ao impulso:
Encontre a resposta da saída quando a entrada for um degrau unitário.
Passo 1
O enunciado fornece a resposta ao impulso e a entrada:
- Resposta ao impulso:
. - Entrada: degrau unitário
.
O que é pedido:
- Encontrar a resposta de saída
para essa entrada .
Informações relevantes dadas:
-
é multiplicada por , portanto para (sistema causal). -
é o degrau unitário, ou seja para e para .
Passo 2
Regra geral para sistemas LTI: a saída é a convolução da entrada com a resposta ao impulso. Em notação,
Explicando com calma:
descreve a reação do sistema a um impulso em tempo
, e
“ativa” esses impulsos deslocados; a integral soma todas as contribuições. Aqui
, então
.
Agora analisamos onde o integrando é não nulo:
- Como
contém , temos para . Assim não precisamos integrar por . -
quando , isto é para ; fora disso é zero.
Portanto, para cada
a integral tem suporte em
que satisfaz
. Conclusão prática:
- Se
, o intervalo é vazio e então . - Se
, então
Observação didática: esse resultado é geral — a resposta ao degrau de um sistema causal LTI é a primitiva (integral) da resposta ao impulso.
Passo 3
Substituímos
na integral (para
):
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Calcule cada integral passo a passo.
Integral da exponencial:
Explicação: antiderivada de
é
, e substituímos os limites
e
.
Integral do seno:
Explicação: antiderivada de
é
;
.
Passo 4
Somando as duas partes obtemos, para
:
E para
já vimos que
. Uma forma compacta que une os dois casos é multiplicar por
, já que a expressão válida só para
:
Pequeno check: em
essa expressão dá
, coerente com continuidade inicial esperada.