(25 pts) Um sistema LTI tem a seguinte resposta ao impulso:
h(t)=\left[e^{-t}+\operatorname{sen}(t)\right] u(t)
Encontre a resposta da saída quando a entrada for um degrau unitário.

Passo 1

O enunciado fornece a resposta ao impulso e a entrada:
  • Resposta ao impulso: h(t)=\left[e^{-t}+\operatorname{sen}(t)\right]u(t).
  • Entrada: degrau unitário x(t)=u(t).
O que é pedido:
  • Encontrar a resposta de saída y(t) para essa entrada x(t)=u(t).
Informações relevantes dadas:
  • h(t) é multiplicada por u(t), portanto h(t)=0 para t<0 (sistema causal).
  • u(t) é o degrau unitário, ou seja u(t)=0 para t<0 e u(t)=1 para t\ge0.

Passo 2

Regra geral para sistemas LTI: a saída é a convolução da entrada com a resposta ao impulso. Em notação,
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
Explicando com calma: h(\tau) descreve a reação do sistema a um impulso em tempo \tau, e x(t-\tau) “ativa” esses impulsos deslocados; a integral soma todas as contribuições. Aqui x(t)=u(t), então x(t-\tau)=u(t-\tau).
Agora analisamos onde o integrando é não nulo:
  • Como h(\tau) contém u(\tau), temos h(\tau)=0 para \tau<0. Assim não precisamos integrar por \tau<0.
  • u(t-\tau)=1 quando t-\tau\ge0, isto é para \tau\le t; fora disso é zero.
Portanto, para cada t a integral tem suporte em \tau que satisfaz 0\le\tau\le t. Conclusão prática:
  • Se t<0, o intervalo 0\le\tau\le t é vazio e então y(t)=0.
  • Se t\ge0, então
y(t)=\int_{0}^{t} h(\tau)\,d\tau.
Observação didática: esse resultado é geral — a resposta ao degrau de um sistema causal LTI é a primitiva (integral) da resposta ao impulso.

Passo 3

Substituímos h(\tau) na integral (para t\ge0):
y(t)=\int_{0}^{t}\bigl(e^{-\tau}+\sin(\tau)\bigr)\,d\tau.
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
y(t)=\int_{0}^{t} e^{-\tau}\,d\tau \;+\; \int_{0}^{t} \sin(\tau)\,d\tau.
Calcule cada integral passo a passo.
Integral da exponencial:
\int_{0}^{t} e^{-\tau}\,d\tau = \bigl[-e^{-\tau}\bigr]_{0}^{t} = -e^{-t} -\bigl(-e^{0}\bigr) = -e^{-t}+1 = 1-e^{-t}.
Explicação: antiderivada de e^{-\tau} é -e^{-\tau}, e substituímos os limites \tau=0 e \tau=t.
Integral do seno:
\int_{0}^{t} \sin(\tau)\,d\tau = \bigl[-\cos(\tau)\bigr]_{0}^{t} = -\cos(t) -\bigl(-\cos(0)\bigr) = -\cos(t)+1 = 1-\cos(t).
Explicação: antiderivada de \sin(\tau) é -\cos(\tau); \cos(0)=1.

Passo 4

Somando as duas partes obtemos, para t\ge0:
y(t) = \bigl(1-e^{-t}\bigr) + \bigl(1-\cos(t)\bigr) = 2 - e^{-t} - \cos(t).
E para t<0 já vimos que y(t)=0. Uma forma compacta que une os dois casos é multiplicar por u(t), já que a expressão válida só para t\ge0:
y(t)=\bigl(2 - e^{-t} - \cos(t)\bigr)\,u(t).
Pequeno check: em t=0 essa expressão dá y(0)=2-1-1=0, coerente com continuidade inicial esperada.

Resposta

y(t)=\bigl(2 - e^{-t} - \cos(t)\bigr)\,u(t)

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