Determine se os seguintes sistemas discretos são causais ou não causais, se tem memória ou não, se são lineares ou não lineares e se são variantes ou invariantes no tempo. Em todos os casos
é uma entrada qualquer,
é a resposta à entrada
e
é o degrau unitário.
d)
d)
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema discreto
onde
é a entrada qualquer,
é a saída e
é o degrau unitário (ou seja,
para
e
para
).
O que o exercício pede, item por item:
O que o exercício pede, item por item:
- verificar se o sistema é causal ou não;
- verificar se o sistema tem memória ou é sem memória (memoryless);
- verificar se o sistema é linear ou não linear;
- verificar se o sistema é variante ou invariante no tempo.
Passo 2
Definição e teste de causalidade (explicação didática).
- Definição: um sistema é causal se, para cada instante
, a saída depende somente dos valores da entrada com (ou seja, não depende de valores futuros com ). - Aplicação ao sistema: a expressão do sistema é
. Note que, para cada , a saída usa apenas (o valor da entrada no mesmo instante) multiplicado por , que é uma sequência conhecida (não depende de ). Portanto não usa para . - Prova curta: suponha duas entradas
e tais que para todo . Então
logo o sistema é causal.
Passo 3
Definição e teste de memória (explicação didática).
- Definição: um sistema é sem memória (memoryless) se, para cada instante
, a saída depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante (e de parâmetros fixos), e não de com . - Aplicação: aqui
depende somente de e de , onde é uma sequência fixa que depende somente de (não é estado armazenado nem valores de em tempos diferentes). Portanto a saída no tempo usa apenas . - Conclusão: o sistema é sem memória (memoryless).
Passo 4
Definição e teste de linearidade (explicação didática).
- Definição: um sistema
é linear se satisfaz superposição: para quaisquer entradas , e escalares ,
- Aplicação: calcule a saída para a combinação linear:
Mas
e
. Então
- Conclusão: a propriedade de superposição vale, logo o sistema é linear.
Passo 5
Definição e teste de invariância no tempo (explicação didática).
- Definição: um sistema é invariante no tempo se, ao deslocar a entrada em
amostras, a saída resulta apenas em um deslocamento igual na resposta. Formalmente, se , então para todo deslocamento deve valer
- Aplicação: calcule as duas expressões para o nosso sistema.
- Primeiro,
- Por outro lado,
Para igualdade em todos os precisamos ter para todo , o que não é verdade em geral (por exemplo, se então mas ). - Contraexemplo numérico simples: escolha
para todo . Então enquanto Em temos e , logo e as duas saídas não coincidem. - Conclusão: o sistema não é invariante no tempo; é variante no tempo.
Passo 6
Resumo intuitivo (um papo rápido e motivador).
- O fator
corta a entrada para (torna a saída zero antes de zero), e como esse corte depende explicitamente de ele rompe a simetria temporal necessária para invariância no tempo. - Como a saída usa apenas
multiplicado por uma sequência conhecida, não há memória e a operação é linear e causal — a multiplicação ponto a ponto por uma sequência fixa é um exemplo clássico de sistema linear e sem memória; a falta de invariância surge porque a sequência multiplicadora não é a mesma quando deslocada.
Resposta
Causal.
Sem memória (memoryless).
Linear.
Variant(e) no tempo (não invariante no tempo).
Sem memória (memoryless).
Linear.
Variant(e) no tempo (não invariante no tempo).