Determine se os seguintes sistemas discretos são causais ou não causais, se tem memória ou não, se são lineares ou não lineares e se são variantes ou invariantes no tempo. Em todos os casos x[n] é uma entrada qualquer, y[n] é a resposta à entrada x[n] e u[n] é o degrau unitário.
d) y[n]=u[n] x[n]

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema discreto
y[n]=u[n]\,x[n],
onde x[n] é a entrada qualquer, y[n] é a saída e u[n] é o degrau unitário (ou seja, u[n]=1 para n\ge 0 e u[n]=0 para n<0).
O que o exercício pede, item por item:
  • verificar se o sistema é causal ou não;
  • verificar se o sistema tem memória ou é sem memória (memoryless);
  • verificar se o sistema é linear ou não linear;
  • verificar se o sistema é variante ou invariante no tempo.

Passo 2

Definição e teste de causalidade (explicação didática).
  • Definição: um sistema é causal se, para cada instante n_0, a saída y[n_0] depende somente dos valores da entrada x[k] com k\le n_0 (ou seja, não depende de valores futuros x[k] com k>n_0).
  • Aplicação ao sistema: a expressão do sistema é y[n]=u[n]\,x[n]. Note que, para cada n, a saída usa apenas x[n] (o valor da entrada no mesmo instante) multiplicado por u[n], que é uma sequência conhecida (não depende de x). Portanto y[n_0] não usa x[k] para k>n_0.
  • Prova curta: suponha duas entradas x_1[n] e x_2[n] tais que x_1[k]=x_2[k] para todo k\le n_0. Então
y_1[n_0]=u[n_0]x_1[n_0]=u[n_0]x_2[n_0]=y_2[n_0],
logo o sistema é causal.

Passo 3

Definição e teste de memória (explicação didática).
  • Definição: um sistema é sem memória (memoryless) se, para cada instante n_0, a saída y[n_0] depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante x[n_0] (e de parâmetros fixos), e não de x[k] com k\neq n_0.
  • Aplicação: aqui y[n]=u[n]\,x[n] depende somente de x[n] e de u[n], onde u[n] é uma sequência fixa que depende somente de n (não é estado armazenado nem valores de x em tempos diferentes). Portanto a saída no tempo n usa apenas x[n].
  • Conclusão: o sistema é sem memória (memoryless).

Passo 4

Definição e teste de linearidade (explicação didática).
  • Definição: um sistema T é linear se satisfaz superposição: para quaisquer entradas x_1[n], x_2[n] e escalares a,b,
T\{a x_1[n]+b x_2[n]\} = a\,T\{x_1[n]\} + b\,T\{x_2[n]\}.
  • Aplicação: calcule a saída para a combinação linear:
T\{a x_1 + b x_2\}[n] = u[n]\bigl(a x_1[n] + b x_2[n]\bigr) = a\,u[n]x_1[n] + b\,u[n]x_2[n].
Mas u[n]x_1[n]=T\{x_1\}[n] e u[n]x_2[n]=T\{x_2\}[n]. Então
T\{a x_1 + b x_2\}[n] = a\,T\{x_1\}[n] + b\,T\{x_2\}[n].
  • Conclusão: a propriedade de superposição vale, logo o sistema é linear.

Passo 5

Definição e teste de invariância no tempo (explicação didática).
  • Definição: um sistema é invariante no tempo se, ao deslocar a entrada em n_0 amostras, a saída resulta apenas em um deslocamento igual na resposta. Formalmente, se y[n]=T\{x[n]\}, então para todo deslocamento n_0 deve valer
T\{x[n-n_0]\} = y[n-n_0].
  • Aplicação: calcule as duas expressões para o nosso sistema.
    • Primeiro,
    T\{x[n-n_0]\}[n] = u[n]\,x[n-n_0].
    • Por outro lado,
    y[n-n_0] = u[n-n_0]\,x[n-n_0].Para igualdade em todos os n precisamos ter u[n]=u[n-n_0] para todo n, o que não é verdade em geral (por exemplo, se n_0=1 então u[0]=1 mas u[-1]=0).
  • Contraexemplo numérico simples: escolha x[n]=1 para todo n. Então T\{x[n-1]\}[n] = u[n]\cdot 1 = u[n],enquanto y[n-1]=u[n-1]\cdot 1 = u[n-1].Em n=0 temos u[0]=1 e u[-1]=0, logo u[0]\neq u[-1] e as duas saídas não coincidem.
  • Conclusão: o sistema não é invariante no tempo; é variante no tempo.

Passo 6

Resumo intuitivo (um papo rápido e motivador).
  • O fator u[n] corta a entrada para n<0 (torna a saída zero antes de zero), e como esse corte depende explicitamente de n ele rompe a simetria temporal necessária para invariância no tempo.
  • Como a saída usa apenas x[n] multiplicado por uma sequência conhecida, não há memória e a operação é linear e causal — a multiplicação ponto a ponto por uma sequência fixa é um exemplo clássico de sistema linear e sem memória; a falta de invariância surge porque a sequência multiplicadora u[n] não é a mesma quando deslocada.

Resposta

Causal.
Sem memória (memoryless).
Linear.
Variant(e) no tempo (não invariante no tempo).

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