26.18 In the distillation of a benzene/toluene mixture, a vapor richer in benzene is produced from a benzene/toluene liquid solution. Benzene is transferred from the liquid to the vapor phase and the less-volatile toluene is transferred in the opposite direction. At the system temperature and pressure, the latent heats of vaporization of benzene and toluene are 30 and 33 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}, respectively. Both components are diffusing through a gas film of thickness \delta. Develop an equation to predict the steady-state flux of benzene through the gas film. The equation must include terms for the bulk gas-phase mole fraction of benzene, the gas-phase mole fraction of benzene in equilibrium with the liquid solution, the diffusion coefficient of benzene/toluene, the diffusion path \delta, and the total molar gas concentration. Assume the distillation is an adiabatic process.
Passo 1
O enunciado pede para obter uma equação que preveja o fluxo em regime permanente de benzeno através de um filme gasoso de espessura \delta. Devemos incluir na equação os seguintes termos: a fração molar de benzeno na fase gasosa em bulk (longe da superfície), a fração molar de benzeno na fase gasosa em equilíbrio com a solução líquida na superfície, o coeficiente de difusão benzeno/tolueno, o caminho de difusão \delta e a concentração molar total do gás. Dados fornecidos (a listar explicitamente):
Calores latentes de vaporização: benzeno \lambda_B = 30\\ \mathrm{kJ/mol} e tolueno \lambda_T = 33\\ \mathrm{kJ/mol}.
Espessura do filme: \delta.
Coeficiente de difusão binária: D (benzeno/tolueno).
Concentração molar total do gás: C (mol/m^3).
Fração molar de benzeno no bulk do gás: y_g.
Fração molar de benzeno na fase gasosa em equilíbrio com o líquido (na superfície): y_s.
Processo adiabático (nenhum troco de calor externo através da interface).
O que se pede: produzir a expressão de fluxo molar de benzeno através do filme gasoso em função dessas grandezas, assumindo regime estacionário.
Passo 2
Definições de variáveis e sinalização (importante para não se perder depois):
Seja N_B o fluxo molar de benzeno por unidade de área (mol·m{-2}·s{-1}), definido positivo quando o benzeno vai do líquido para o gás (evaporação).
Seja N_T o fluxo molar de tolueno por unidade de área (mol·m{-2}·s{-1}), positivo quando o tolueno vai do líquido para o gás. No enunciado diz que tolueno vai no sentido oposto (condensa), portanto espera-se N_T<0.
Fluxo molar total do gás (convectivo) : N = N_B + N_T.
Fração molar de benzeno em uma posição z no filme: y_B(z); em particular y_B(0)=y_s (superfície) e y_B(\delta)=y_g (bulk).
Explicação física simples do modelo: no filme gasoso há difusão molecular (descrita por Fick) e também uma velocidade média do gás (Stefan flow) associada ao fato de haver mudança de fases (evaporação/condensação) que produz um fluxo total N. A equação que combina difusão e convecção para o fluxo de benzeno é:
N_B = -D\,C\,\frac{d y_B}{dz} + y_B\,N.
Aqui:
O termo -D C \frac{d y_B}{dz} é o termo difusivo (Fick), com D coeficiente de difusão binária e C concentração molar total do gás (assumida constante no filme).
O termo y_B N é o transporte convectivo (Stefan flow): a fração molar multiplicada pelo fluxo total.
Passo 3
Aplicar regime permanente e integrar a equação diferencial ao longo do filme. Em regime estacionário N_B e N são constantes independentes de z. Reescrevendo a equação:
Agora precisamos relacionar N e N_B. Usamos a condição adiabática (equilíbrio de energia): todo calor absorvido na vaporização do benzeno deve ser fornecido pela condensação do tolueno (nenhum calor entra ou sai do sistema). Escrevendo balanço de calor por unidade de área e tempo:
\text{(calor consumido pela vaporização de B)} + \text{(calor consumido pela vaporização de T)} = 0.
Como o tolueno está condensando, o seu termo terá sinal oposto. Em termos de fluxos e calores latentes:
N_B\,\lambda_B + N_T\,\lambda_T = 0,
onde \lambda_B e \lambda_T são os calores latentes por mol (valores fornecidos). Isso significa que a potência térmica associada às duas mudanças de fase se anula (adiabaticidade). Resolvendo para N_T:
N_T = -\frac{\lambda_B}{\lambda_T}\,N_B.
Então o fluxo molar total N é
N = N_B + N_T = N_B\left(1 - \frac{\lambda_B}{\lambda_T}\right).
Definimos para abreviar \beta \equiv \dfrac{\lambda_B}{\lambda_T}, então N = N_B(1-\beta). Observação física: como \lambda_B<\lambda_T nos dados (30<33), temos 1-\beta>0 e portanto N tem o mesmo sinal de N_B.
Passo 5
Substituímos N na equação integrada obtida no Passo 3. Primeiro note que
N_B - y N = N_B - y\bigl(N_B(1-\beta)\bigr) = N_B\bigl[1 - y(1-\beta)\bigr].
Interpretação rápida e checagem de sinal (para te deixar confiante): se a superfície estiver mais rica em benzeno do que o bulk (y_s>y_g), o argumento do logaritmo é menor que 1, o logaritmo é negativo, o sinal menos na frente torna N_B>0, ou seja, benzeno evapora (fluxo do líquido para o gás), como esperado. Para os valores numéricos dados, \lambda_B/\lambda_T = 30/33 = 10/11, então 1-\beta = 1/11; isso aumenta a magnitude do denominador, o que aparece fisicamente porque a pequena diferença entre calores latentes implica um fluxo total N pequeno comparado a N_B.