26.18 In the distillation of a benzene/toluene mixture, a vapor richer in benzene is produced from a benzene/toluene liquid solution. Benzene is transferred from the liquid to the vapor phase and the less-volatile toluene is transferred in the opposite direction. At the system temperature and pressure, the latent heats of vaporization of benzene and toluene are 30 and 33 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}, respectively. Both components are diffusing through a gas film of thickness \delta. Develop an equation to predict the steady-state flux of benzene through the gas film. The equation must include terms for the bulk gas-phase mole fraction of benzene, the gas-phase mole fraction of benzene in equilibrium with the liquid solution, the diffusion coefficient of benzene/toluene, the diffusion path \delta, and the total molar gas concentration. Assume the distillation is an adiabatic process.

Passo 1

O enunciado pede para obter uma equação que preveja o fluxo em regime permanente de benzeno através de um filme gasoso de espessura \delta. Devemos incluir na equação os seguintes termos: a fração molar de benzeno na fase gasosa em bulk (longe da superfície), a fração molar de benzeno na fase gasosa em equilíbrio com a solução líquida na superfície, o coeficiente de difusão benzeno/tolueno, o caminho de difusão \delta e a concentração molar total do gás. Dados fornecidos (a listar explicitamente):
  • Calores latentes de vaporização: benzeno \lambda_B = 30\\ \mathrm{kJ/mol} e tolueno \lambda_T = 33\\ \mathrm{kJ/mol}.
  • Espessura do filme: \delta.
  • Coeficiente de difusão binária: D (benzeno/tolueno).
  • Concentração molar total do gás: C (mol/m^3).
  • Fração molar de benzeno no bulk do gás: y_g.
  • Fração molar de benzeno na fase gasosa em equilíbrio com o líquido (na superfície): y_s.
  • Processo adiabático (nenhum troco de calor externo através da interface).
    O que se pede: produzir a expressão de fluxo molar de benzeno através do filme gasoso em função dessas grandezas, assumindo regime estacionário.

Passo 2

Definições de variáveis e sinalização (importante para não se perder depois):
  • Seja N_B o fluxo molar de benzeno por unidade de área (mol·m{-2}·s{-1}), definido positivo quando o benzeno vai do líquido para o gás (evaporação).
  • Seja N_T o fluxo molar de tolueno por unidade de área (mol·m{-2}·s{-1}), positivo quando o tolueno vai do líquido para o gás. No enunciado diz que tolueno vai no sentido oposto (condensa), portanto espera-se N_T<0.
  • Fluxo molar total do gás (convectivo) : N = N_B + N_T.
  • Fração molar de benzeno em uma posição z no filme: y_B(z); em particular y_B(0)=y_s (superfície) e y_B(\delta)=y_g (bulk).
    Explicação física simples do modelo: no filme gasoso há difusão molecular (descrita por Fick) e também uma velocidade média do gás (Stefan flow) associada ao fato de haver mudança de fases (evaporação/condensação) que produz um fluxo total N. A equação que combina difusão e convecção para o fluxo de benzeno é:
N_B = -D\,C\,\frac{d y_B}{dz} + y_B\,N.
Aqui:
  • O termo -D C \frac{d y_B}{dz} é o termo difusivo (Fick), com D coeficiente de difusão binária e C concentração molar total do gás (assumida constante no filme).
  • O termo y_B N é o transporte convectivo (Stefan flow): a fração molar multiplicada pelo fluxo total.

Passo 3

Aplicar regime permanente e integrar a equação diferencial ao longo do filme. Em regime estacionário N_B e N são constantes independentes de z. Reescrevendo a equação:
\frac{d y_B}{dz} = -\frac{1}{D C}\bigl(N_B - y_B N\bigr).
Separamos variáveis e integramos de z=0 (superfície) a z=\delta (bulk), correspondendo a y_B=y_s até y_B=y_g:
\int_{y_s}^{y_g} \frac{d y}{N_B - y N} = -\int_{0}^{\delta} \frac{dz}{D C}.
A integral do lado esquerdo é do tipo \int \frac{dy}{a - b y} = -\frac{1}{b}\ln(a - b y). Avaliando, obtemos:
\frac{1}{N}\ln\!\left(\frac{N_B - y_g N}{N_B - y_s N}\right) = -\frac{\delta}{D C}.
Multiplicando ambos os lados por N fica:
\ln\!\left(\frac{N_B - y_g N}{N_B - y_s N}\right) = -\frac{N\,\delta}{D C}.

Passo 4

Agora precisamos relacionar N e N_B. Usamos a condição adiabática (equilíbrio de energia): todo calor absorvido na vaporização do benzeno deve ser fornecido pela condensação do tolueno (nenhum calor entra ou sai do sistema). Escrevendo balanço de calor por unidade de área e tempo:
\text{(calor consumido pela vaporização de B)} + \text{(calor consumido pela vaporização de T)} = 0.çãçã
Como o tolueno está condensando, o seu termo terá sinal oposto. Em termos de fluxos e calores latentes:
N_B\,\lambda_B + N_T\,\lambda_T = 0,
onde \lambda_B e \lambda_T são os calores latentes por mol (valores fornecidos). Isso significa que a potência térmica associada às duas mudanças de fase se anula (adiabaticidade). Resolvendo para N_T:
N_T = -\frac{\lambda_B}{\lambda_T}\,N_B.
Então o fluxo molar total N é
N = N_B + N_T = N_B\left(1 - \frac{\lambda_B}{\lambda_T}\right).
Definimos para abreviar \beta \equiv \dfrac{\lambda_B}{\lambda_T}, então N = N_B(1-\beta). Observação física: como \lambda_B<\lambda_T nos dados ( 30<33), temos 1-\beta>0 e portanto N tem o mesmo sinal de N_B.

Passo 5

Substituímos N na equação integrada obtida no Passo 3. Primeiro note que
N_B - y N = N_B - y\bigl(N_B(1-\beta)\bigr) = N_B\bigl[1 - y(1-\beta)\bigr].
Assim o argumento do logaritmo se simplifica:
\frac{N_B - y_g N}{N_B - y_s N}=\frac{1 - y_g(1-\beta)}{1 - y_s(1-\beta)}.
Voltando à equação do passo 3:
\ln\!\left(\frac{1 - y_g(1-\beta)}{1 - y_s(1-\beta)}\right) = -\frac{N\,\delta}{D C}.
Mas N = N_B(1-\beta), logo:
\ln\!\left(\frac{1 - y_g(1-\beta)}{1 - y_s(1-\beta)}\right) = -\frac{N_B(1-\beta)\,\delta}{D C}.

Passo 6

Isolamos N_B da última igualdade. Multiplicando por -1 e rearranjando:
N_B = -\frac{D C}{(1-\beta)\,\delta}\;\ln\!\left(\frac{1 - y_g(1-\beta)}{1 - y_s(1-\beta)}\right).
Lembrando a definição \beta = \dfrac{\lambda_B}{\lambda_T}, substituímos de volta para a forma com os calores latentes:
N_B = -\frac{D\,C}{\left(1-\dfrac{\lambda_B}{\lambda_T}\right)\delta}\; \ln\!\left(\frac{1 - y_g\!\left(1-\dfrac{\lambda_B}{\lambda_T}\right)}{1 - y_s\!\left(1-\dfrac{\lambda_B}{\lambda_T}\right)}\right).

Passo 7

Interpretação rápida e checagem de sinal (para te deixar confiante): se a superfície estiver mais rica em benzeno do que o bulk ( y_s>y_g), o argumento do logaritmo é menor que 1, o logaritmo é negativo, o sinal menos na frente torna N_B>0, ou seja, benzeno evapora (fluxo do líquido para o gás), como esperado. Para os valores numéricos dados, \lambda_B/\lambda_T = 30/33 = 10/11, então 1-\beta = 1/11; isso aumenta a magnitude do denominador, o que aparece fisicamente porque a pequena diferença entre calores latentes implica um fluxo total N pequeno comparado a N_B.

Resposta

N_B = -\frac{D\,C}{\left(1-\dfrac{\lambda_B}{\lambda_T}\right)\delta}\; \ln\!\left(\frac{1 - y_g\!\left(1-\dfrac{\lambda_B}{\lambda_T}\right)}{1 - y_s\!\left(1-\dfrac{\lambda_B}{\lambda_T}\right)}\right)

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