26.19 An important step in the purification of uranium isotopes involves the conversion of uranium to uranium hexafluoride,
. In the present process,
is prepared by exposing uranium pellets, spherical in shape, to fluorine gas at 1000 K and 1 atm pressure. The molecular diffusion of the fluorine gas to the pellet surface is thought to be the controlling step. If the reaction
occurs irreversibly and instantaneously on the pellet surface, and the diffusivity of fluorine gas through uranium hexafluoride gas is
at 1000 K and 1 atm , determine the production rate of
when the pellet diameter is 0.4 cm .
Passo 1
O enunciado pede para determinar a taxa de produção de
para um único pellet esférico de diâmetro
, sabendo que a etapa limitante é a difusão molecular do gás
através do gás produto
. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
O enunciado também diz que a reação na superfície é irreversível e instantânea (portanto a concentração de
na superfície sólida é essencialmente zero). O que se pede: a taxa de produção de
por pellet (unidade esperada: mol/s ou g/s). Neste passo apenas identifiquei o pedido e os dados; não resolvo ainda.
Passo 2
Modelo físico e hipóteses claras (super importante para a prova — anota isso mentalmente):
- A difusão é o passo limitante e alcança um estado estacionário (isto é, o fluxo de
é constante no tempo quando visto radialmente). - A superfície do núcleo reativo consome
instantaneamente, logo a concentração de no raio da superfície é . - O gás ao infinito (ou ao “bulk” longe da esfera) tem concentração
correspondente a e . - Usamos a lei dos gases ideais para converter pressão em concentração molar.
Com essas hipóteses, podemos usar a solução clássica de difusão radial estacionária para uma esfera absorvente.
Passo 3
Concentração molar do
no gás ao infinito usando a lei dos gases ideais:
Aqui
é em
,
em
e
a constante dos gases. Para trabalhar em
usamos
Logo
Calculemos numericamente:
(Explicação curta: estamos simplesmente transformando 1 atm de gás ideal a 1000 K na concentração molar por cm^3.)
Passo 4
Derivação da taxa de difusão para uma esfera absorvente (mini-aula prática):
Partimos da equação de Fick em coordenadas esféricas, estado estacionário e simetria radial: o fluxo molar total através de uma esfera de raio é constante e dado por
Partimos da equação de Fick em coordenadas esféricas, estado estacionário e simetria radial: o fluxo molar total através de uma esfera de raio
onde
é a taxa (mol/s) atravessando a superfície de raio
,
é a difusividade e
a concentração radial. Em regime estacionário
não depende de
, então rearranjamos:
Integramos de
(superfície do pellet) até
usando as condições de contorno
(consumo instantâneo) e
:
Isolando
:
Comentário didático: essa fórmula é muito útil e comum em provas — lembra: para uma esfera que absorve tudo na superfície, a taxa é proporcional ao raio
, não à área, por causa da geometria radial.
Passo 5
Aplicar a expressão encontrada aos valores numéricos:
Substituindo
,
e
:
Faço as multiplicações passo a passo (pra você saber fazer sem calculadora de prova):
Passo 6
Converter a taxa de consumo de
para taxa de produção de
usando estequiometria:
A reação consome mol de
por
mol de
, logo
A reação consome
Substituindo o valor calculado:
Passo 7
(se quiser a taxa em massa) calcular a taxa de produção em gramas por segundo: massa molar aproximada de
:
Então
Se quiser em
:
.