26.19 An important step in the purification of uranium isotopes involves the conversion of uranium to uranium hexafluoride, \mathrm{UF}_{6}. In the present process, \mathrm{UF}_{6} is prepared by exposing uranium pellets, spherical in shape, to fluorine gas at 1000 K and 1 atm pressure. The molecular diffusion of the fluorine gas to the pellet surface is thought to be the controlling step. If the reaction
\mathrm{U}(\mathrm{~s})+3 \mathrm{~F}_{2}(\mathrm{~g}) \rightarrow \mathrm{UF}_{6}(\mathrm{~g})
occurs irreversibly and instantaneously on the pellet surface, and the diffusivity of fluorine gas through uranium hexafluoride gas is 0.273 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} at 1000 K and 1 atm , determine the production rate of \mathrm{UF}_{6} when the pellet diameter is 0.4 cm .

Passo 1

O enunciado pede para determinar a taxa de produção de \mathrm{UF}_{6} para um único pellet esférico de diâmetro 0{,}4\\ \mathrm{cm}, sabendo que a etapa limitante é a difusão molecular do gás \mathrm{F}_{2} através do gás produto \mathrm{UF}_{6}. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\text{Reação:}\quad \mathrm{U}(\mathrm{s}) + 3\,\mathrm{F}_{2}(\mathrm{g}) \rightarrow \mathrm{UF}_{6}(\mathrm{g})çã
\text{Temperatura: } T = 1000\\ \mathrm{K}
\text{Pressão total (presumida = pressão parcial de } \mathrm{F}_2\text{): } P = 1\\ \mathrm{atm}ãã
\text{Difusividade de } \mathrm{F}_2 \text{ em } \mathrm{UF}_6:\quad D = 0{,}273\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}
\text{Diâmetro do pellet: } d = 0{,}4\\ \mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad \text{raio } R = 0{,}2\\ \mathrm{cm}â
O enunciado também diz que a reação na superfície é irreversível e instantânea (portanto a concentração de \mathrm{F}_2 na superfície sólida é essencialmente zero). O que se pede: a taxa de produção de \mathrm{UF}_{6} por pellet (unidade esperada: mol/s ou g/s). Neste passo apenas identifiquei o pedido e os dados; não resolvo ainda.

Passo 2

Modelo físico e hipóteses claras (super importante para a prova — anota isso mentalmente):
  • A difusão é o passo limitante e alcança um estado estacionário (isto é, o fluxo de \mathrm{F}_2 é constante no tempo quando visto radialmente).
  • A superfície do núcleo reativo consome \mathrm{F}_2 instantaneamente, logo a concentração de \mathrm{F}_2 no raio da superfície é C_R=0.
  • O gás ao infinito (ou ao “bulk” longe da esfera) tem concentração C_\infty correspondente a P=1\\ \mathrm{atm} e T=1000\\ \mathrm{K}.
  • Usamos a lei dos gases ideais para converter pressão em concentração molar.
    Com essas hipóteses, podemos usar a solução clássica de difusão radial estacionária para uma esfera absorvente.

Passo 3

Concentração molar do \mathrm{F}_2 no gás ao infinito usando a lei dos gases ideais:
C_\infty = \frac{P}{R_{\text{g}}\,T}.
Aqui P é em \mathrm{atm}, T em \mathrm{K} e R_{\text{g}} a constante dos gases. Para trabalhar em \mathrm{cm}^3 usamos
R_{\text{g}} = 0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm/(mol\cdot K)} = 82{,}057\\ \mathrm{cm}^3\cdot\mathrm{atm}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}).
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C_\infty = \frac{1\\ \mathrm{atm}}{82{,}057\\ \mathrm{cm}^3\cdot\mathrm{atm}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K})\times 1000\\ \mathrm{K}} = \frac{1}{82{,}057\cdot 1000}\\ \mathrm{mol/cm}^3.
Calculemos numericamente:
C_\infty \approx 1{,}2183\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol/cm}^3.
(Explicação curta: estamos simplesmente transformando 1 atm de gás ideal a 1000 K na concentração molar por cm^3.)

Passo 4

Derivação da taxa de difusão para uma esfera absorvente (mini-aula prática):
Partimos da equação de Fick em coordenadas esféricas, estado estacionário e simetria radial: o fluxo molar total através de uma esfera de raio r é constante e dado por
\dot{n} = -D\;4\pi r^2\frac{dC}{dr},
onde \dot{n} é a taxa (mol/s) atravessando a superfície de raio r, D é a difusividade e C(r) a concentração radial. Em regime estacionário \dot{n} não depende de r, então rearranjamos:
\frac{dC}{dr} = -\frac{\dot{n}}{4\pi D r^2}.
Integramos de r=R (superfície do pellet) até r\to\infty usando as condições de contorno C(R)=C_R=0 (consumo instantâneo) e C(\infty)=C_\infty:
C_\infty - 0 = \int_{R}^{\infty} -\frac{\dot{n}}{4\pi D r^2}\,dr = \frac{\dot{n}}{4\pi D}\left(\frac{1}{R}\right).
Isolando \dot{n}:
\dot{n}_{\mathrm{F}_2} = 4\pi D R\, C_\infty.
Comentário didático: essa fórmula é muito útil e comum em provas — lembra: para uma esfera que absorve tudo na superfície, a taxa é proporcional ao raio R, não à área, por causa da geometria radial.

Passo 5

Aplicar a expressão encontrada aos valores numéricos:
\dot{n}_{\mathrm{F}_2} = 4\pi \, D \, R \, C_\infty.
Substituindo D = 0{,}273\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}, R = 0{,}2\\ \mathrm{cm} e C_\infty \approx 1{,}2183\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol/cm}^3:
\dot{n}_{\mathrm{F}_2} = 4\pi \times 0{,}273 \times 0{,}2 \times 1{,}2183\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol/s}.
Faço as multiplicações passo a passo (pra você saber fazer sem calculadora de prova):
0{,}273\times 0{,}2 = 0{,}0546,
4\pi \times 0{,}0546 \approx 12{,}5664 \times 0{,}0546 \approx 0{,}68612,
\dot{n}_{\mathrm{F}_2} \approx 0{,}68612 \times 1{,}2183\times 10^{-5} \approx 8{,}36\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol/s}.

Passo 6

Converter a taxa de consumo de \mathrm{F}_2 para taxa de produção de \mathrm{UF}_6 usando estequiometria:
A reação consome 3 mol de \mathrm{F}_2 por 1 mol de \mathrm{UF}_6, logo
\dot{n}_{\mathrm{UF}_6} = \frac{1}{3}\,\dot{n}_{\mathrm{F}_2}.
Substituindo o valor calculado:
\dot{n}_{\mathrm{UF}_6} \approx \frac{1}{3}\times 8{,}36\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol/s} \approx 2{,}79\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol/s}.

Passo 7

(se quiser a taxa em massa) calcular a taxa de produção em gramas por segundo: massa molar aproximada de \mathrm{UF}_6:
M_{\mathrm{UF}_6} \approx M_{\mathrm{U}} + 6M_{\mathrm{F}} \approx 238{,}03 + 6\times 19{,}00 \approx 352{,}03\\ \mathrm{g/mol}.
Então
\dot{m}_{\mathrm{UF}_6} = \dot{n}_{\mathrm{UF}_6}\times M_{\mathrm{UF}_6} \approx 2{,}79\times 10^{-6}\times 352{,}03\\ \mathrm{g/s} \approx 9{,}81\times 10^{-4}\\ \mathrm{g/s}.
Se quiser em \mathrm{g/h}: 9{,}81\times 10^{-4}\times 3600 \approx 3{,}53\\ \mathrm{g/h}.

Resposta

\dot{n}_{\mathrm{UF}_6}\approx 2{,}79\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol/s}.
\dot{m}_{\mathrm{UF}_6}\approx 9{,}81\times 10^{-4}\\ \mathrm{g/s} (aprox. 3{,}53\\ \mathrm{g/h}).

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