2-26 (2-25) Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
\frac{1}{r} \frac{d}{d r}\left(r k \frac{d T}{d r}\right)+\dot{e}_{g e r}=0
A transferência de calor é permanente ou transiente?

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r k \frac{dT}{dr}\right) + \dot{e}_{ger} = 0
e pergunta se a transferência de calor é permanente (estado estacionário) ou transiente.
Informações fornecidas explícitas:
  • A equação envolve as variáveis r (coordenada radial) e T (temperatura).
  • Aparecem os parâmetros/funções k (condutividade térmica) e \dot{e}_{ger} (geração volumétrica de calor).
  • Não aparece nenhuma derivada temporal explícita (nenhum termo \partial T/\partial t) na equação dada.

Passo 2

Vou lembrar o que significam os termos, de forma bem direta e tranquila.
  • Permanente (estado estacionário): a temperatura não muda no tempo. Em fórmulas, isso significa que a derivada temporal é nula:
\frac{\partial T}{\partial t} = 0.
  • Transiente: a temperatura varia no tempo, então existe um termo temporal na equação, tipicamente \rho c_p \dfrac{\partial T}{\partial t} (onde \rho é a densidade e c_p o calor específico a pressão constante).
Se a equação de equilíbrio de energia não contém \partial T/\partial t, então ela descreve um estado onde a temperatura já atingiu um perfil que não muda com o tempo — ou seja, estado estacionário.

Passo 3

Agora mostro a forma geral (comportamento físico) da equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas com simetria radial, incluindo o termo temporal, para ficar claro de onde vem a versão dada pelo enunciado. A forma geral é
\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r k \frac{\partial T}{\partial r}\right) + \dot{e}_{ger},
onde:
  • \rho é a densidade do meio (kg/m^3),
  • c_p é o calor específico (J/(kg·K)),
  • \dfrac{\partial T}{\partial t} é a variação temporal da temperatura,
  • \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(r k \dfrac{\partial T}{\partial r}\right) representa a divergência do fluxo de calor radial (condução),
  • \dot{e}_{ger} é a geração volumétrica de calor (W/m^3).
Se o problema é estacionário, o termo temporal some, e a equação fica
0 = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r k \frac{\partial T}{\partial r}\right) + \dot{e}_{ger},
que é exatamente a equação que o enunciado deu.

Passo 4

Comparei a equação geral com a equação do enunciado. A equação dada não tem o termo \rho c_p \dfrac{\partial T}{\partial t}. Isso indica que é a forma estacionária da equação de calor (já coloquei \partial T/\partial t=0 e obtive a equação do enunciado). Portanto trata-se de transferência de calor permanente (estado estacionário).

Passo 5

Para consolidar a intuição — e te dar uma ferramenta prática para a prova — mostro rapidamente como resolver essa equação no caso comum de condutividade constante k= constante e geração volumétrica uniforme \dot{e}_{ger}= constante. Parte da técnica que costuma cair em prova é integrar essa ODE radial.
Começamos de
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r k \frac{dT}{dr}\right) + \dot{e}_{ger} = 0.
Se k é constante podemos tirar fora da derivada:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r \frac{dT}{dr}\right) = -\frac{\dot{e}_{ger}}{k}.
Multiplicando por r:
\frac{d}{dr}\!\left(r \frac{dT}{dr}\right) = -\frac{\dot{e}_{ger}}{k}\,r.
Integrando uma vez em r:
r\frac{dT}{dr} = -\frac{\dot{e}_{ger}}{k}\,\frac{r^2}{2} + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Dividindo por r e integrando novamente:
\frac{dT}{dr} = -\frac{\dot{e}_{ger}}{2k}\,r + \frac{C_1}{r},
T(r) = -\frac{\dot{e}_{ger}}{4k}\,r^2 + C_1 \ln r + C_2,
com C_2 outra constante de integração. Essas constantes são determinadas pelas condições de contorno (por exemplo, temperatura conhecida em superfícies, ou fluxo conhecido). Isso mostra que a equação é uma equação ordinária em r (sem tempo), típica de problemas estacionários.

Passo 6

Resumo curto e animador: a ausência de qualquer termo com derivada no tempo indica que a equação descreve um estado onde o perfil de temperatura é independente do tempo — isto é, transferência permanente (estado estacionário). Você já está pronto para identificar esse tipo de equação na prova!

Resposta

Permanente (estado estacionário)

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