2-26 (2-25) Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
A transferência de calor é permanente ou transiente?
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pergunta se a transferência de calor é permanente (estado estacionário) ou transiente.
Informações fornecidas explícitas:
Informações fornecidas explícitas:
- A equação envolve as variáveis
(coordenada radial) e (temperatura). - Aparecem os parâmetros/funções
(condutividade térmica) e (geração volumétrica de calor). - Não aparece nenhuma derivada temporal explícita (nenhum termo
) na equação dada.
Passo 2
Vou lembrar o que significam os termos, de forma bem direta e tranquila.
- Permanente (estado estacionário): a temperatura não muda no tempo. Em fórmulas, isso significa que a derivada temporal é nula:
- Transiente: a temperatura varia no tempo, então existe um termo temporal na equação, tipicamente
(onde é a densidade e o calor específico a pressão constante).
Se a equação de equilíbrio de energia não contém
, então ela descreve um estado onde a temperatura já atingiu um perfil que não muda com o tempo — ou seja, estado estacionário.
Passo 3
Agora mostro a forma geral (comportamento físico) da equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas com simetria radial, incluindo o termo temporal, para ficar claro de onde vem a versão dada pelo enunciado. A forma geral é
onde:
-
é a densidade do meio (kg/m^3), -
é o calor específico (J/(kg·K)), -
é a variação temporal da temperatura, -
representa a divergência do fluxo de calor radial (condução), -
é a geração volumétrica de calor (W/m^3).
Se o problema é estacionário, o termo temporal some, e a equação fica
que é exatamente a equação que o enunciado deu.
Passo 4
Comparei a equação geral com a equação do enunciado. A equação dada não tem o termo
. Isso indica que é a forma estacionária da equação de calor (já coloquei
e obtive a equação do enunciado). Portanto trata-se de transferência de calor permanente (estado estacionário).
Passo 5
Para consolidar a intuição — e te dar uma ferramenta prática para a prova — mostro rapidamente como resolver essa equação no caso comum de condutividade constante
constante e geração volumétrica uniforme
constante. Parte da técnica que costuma cair em prova é integrar essa ODE radial.
Começamos de
Se
é constante podemos tirar fora da derivada:
Multiplicando por
:
Integrando uma vez em
:
onde
é constante de integração. Dividindo por
e integrando novamente:
com
outra constante de integração. Essas constantes são determinadas pelas condições de contorno (por exemplo, temperatura conhecida em superfícies, ou fluxo conhecido). Isso mostra que a equação é uma equação ordinária em
(sem tempo), típica de problemas estacionários.
Passo 6
Resumo curto e animador: a ausência de qualquer termo com derivada no tempo indica que a equação descreve um estado onde o perfil de temperatura é independente do tempo — isto é, transferência permanente (estado estacionário). Você já está pronto para identificar esse tipo de equação na prova!
Resposta
Permanente (estado estacionário)