2-26 (2-25) Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
\frac{1}{r} \frac{d}{d r}\left(r k \frac{d T}{d r}\right)+\dot{e}_{g e r}=0
A condutividade térmica do meio é constante ou variável?

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\,k\,\frac{dT}{dr}\right)+\dot{e}_{ger}=0
e pergunta: a condutividade térmica k do meio é constante ou variável?
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Há uma derivada radial total envolvendo o produto r\,k\,\dfrac{dT}{dr}.
  • Aparece a taxa geradora volumétrica \dot{e}_{ger}.
  • Não há nenhuma declaração explícita dizendo que k é constante.

Passo 2

Entendendo o que significa que k esteja dentro da derivada. Se k for constante (não depende de r), então pode ser tirada fora da derivada porque derivada de uma constante é zero e multiplicação por constante comuta com a operação diferencial. Isso simplifica a equação. Vou mostrar isso algébricamente para ficar claro.

Passo 3

Caso k seja constante: puxando k para fora da derivada obtemos
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\,k\,\frac{dT}{dr}\right) = \frac{k}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right).
Agora usar a identidade
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=\frac{dT}{dr}+r\frac{d^{2}T}{dr^{2}},
resulta em
\frac{k}{r}\left(\frac{dT}{dr}+r\frac{d^{2}T}{dr^{2}}\right) = k\left(\frac{1}{r}\frac{dT}{dr}+\frac{d^{2}T}{dr^{2}}\right).
Portanto, para k constante a equação se reduz a
k\left(\frac{d^{2}T}{dr^{2}}+\frac{1}{r}\frac{dT}{dr}\right)+\dot{e}_{ger}=0,
que é a forma habitual da equação de condução radial com condutividade constante.

Passo 4

Caso k varie com r (ou seja, k=k(r)): não é possível puxar k para fora da derivada. É preciso aplicar a regra do produto ao desenvolver a derivada. Desenvolvendo temos
\frac{d}{dr}\!\left(r\,k(r)\,\frac{dT}{dr}\right) = k(r)\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) + r\frac{dT}{dr}\frac{dk}{dr}.
Usando novamente \dfrac{d}{dr}\!\left(r\dfrac{dT}{dr}\right)=\dfrac{dT}{dr}+r\dfrac{d^{2}T}{dr^{2}} obtemos
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(rk\frac{dT}{dr}\right) = k\frac{d^{2}T}{dr^{2}}+\left(\frac{k}{r}+\frac{dk}{dr}\right)\frac{dT}{dr}.
Note que agora aparece explicitamente o termo \dfrac{dk}{dr}, que só existe se k depender de r.

Passo 5

Interpretação e conclusão didática: a forma original dada
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\,k\,\frac{dT}{dr}\right)+\dot{e}_{ger}=0
é a forma geral que admite tanto k variável quanto k constante. Contudo, o fato de k estar escrito dentro da derivada (como k multiplicando \dfrac{dT}{dr} e estando dentro de \dfrac{d}{dr}(\cdot)) permite que k seja função de r. Se o autor quisesse forçar k constante, normalmente escreveria a forma já simplificada com k fora da derivada ou explicitamente indicaria k= constante. Portanto a equação apresentada é compatível com k=k(r) (condutividade variável); o caso k= constante é apenas um caso especial que simplifica a expressão.

Resposta

A equação está na forma geral que admite condutividade variável, ou seja, k pode depender de r (o caso k constante é o caso particular que simplifica a fórmula).

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