2-26 (2-25) Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
A condutividade térmica do meio é constante ou variável?
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pergunta: a condutividade térmica
do meio é constante ou variável?
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Há uma derivada radial total envolvendo o produto
. - Aparece a taxa geradora volumétrica
. - Não há nenhuma declaração explícita dizendo que
é constante.
Passo 2
Entendendo o que significa que
esteja dentro da derivada. Se
for constante (não depende de
), então pode ser tirada fora da derivada porque derivada de uma constante é zero e multiplicação por constante comuta com a operação diferencial. Isso simplifica a equação. Vou mostrar isso algébricamente para ficar claro.
Passo 3
Caso
seja constante: puxando
para fora da derivada obtemos
Agora usar a identidade
resulta em
Portanto, para
constante a equação se reduz a
que é a forma habitual da equação de condução radial com condutividade constante.
Passo 4
Caso
varie com
(ou seja,
): não é possível puxar
para fora da derivada. É preciso aplicar a regra do produto ao desenvolver a derivada. Desenvolvendo temos
Usando novamente
obtemos
Note que agora aparece explicitamente o termo
, que só existe se
depender de
.
Passo 5
Interpretação e conclusão didática: a forma original dada
é a forma geral que admite tanto
variável quanto
constante. Contudo, o fato de
estar escrito dentro da derivada (como
multiplicando
e estando dentro de
) permite que
seja função de
. Se o autor quisesse forçar
constante, normalmente escreveria a forma já simplificada com
fora da derivada ou explicitamente indicaria
constante. Portanto a equação apresentada é compatível com
(condutividade variável); o caso
constante é apenas um caso especial que simplifica a expressão.
Resposta
A equação está na forma geral que admite condutividade variável, ou seja,
pode depender de
(o caso
constante é o caso particular que simplifica a fórmula).