) Dê a equação do plano tangente e da reta normal à superfície
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede o plano tangente e a reta normal à superfície
no ponto
. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar o plano tangente pela fórmula
e depois obter a reta normal a partir do vetor gradiente de
.
Passo 2
Primeiro, determinamos
de modo que
esteja na superfície. Como
temos
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Em
seguem
Passo 4
Aplicando a fórmula do plano tangente em
:
Desenvolvendo, obtemos
Passo 5
Para a reta normal, usamos o vetor normal ao plano tangente, que é o gradiente de
isto é
avaliado em
.
Passo 6
A equação paramétrica da reta normal, passando por
e direção
, é
Resposta
Plano tangente:
Reta normal: