26^{\circ} ) Dê a equação do plano tangente e da reta normal à superfície z=\frac{x^{2}}{2}-y^{2} no ponto P\left(3,-1, z_{0}\right).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente e a reta normal à superfície
z = \frac{x^{2}}{2} - y^{2}
no ponto P(3,-1,z_{0}). Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar o plano tangente pela fórmula
z - z_{0} = f_{x}(x_{0},y_{0})(x - x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})(y - y_{0})
e depois obter a reta normal a partir do vetor gradiente de F(x,y,z)=f(x,y)-z.

Passo 2

Primeiro, determinamos z_{0} de modo que P esteja na superfície. Como
z_{0} = f(3,-1) = \frac{3^{2}}{2} - (-1)^{2} = \frac{9}{2} - 1 = \frac{7}{2},
temos P\bigl(3,-1,\tfrac{7}{2}\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=\tfrac{x^{2}}{2}-y^{2}:
f_{x}(x,y) = x, \quad f_{y}(x,y) = -2y.
Em (x_{0},y_{0})=(3,-1) seguem
f_{x}(3,-1) = 3, \quad f_{y}(3,-1) = -2(-1) = 2.

Passo 4

Aplicando a fórmula do plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}):
z - \frac{7}{2} = 3\,(x - 3) + 2\,(y + 1).
Desenvolvendo, obtemos
z = 3x - 9 + 2y + 2 + \frac{7}{2} = 3x + 2y - \frac{7}{2}.

Passo 5

Para a reta normal, usamos o vetor normal ao plano tangente, que é o gradiente de
F(x,y,z) = f(x,y) - z,
isto é
\nabla F = \bigl(f_{x},\,f_{y},\,-1\bigr) = (3,\,2,\,-1)
avaliado em P.

Passo 6

A equação paramétrica da reta normal, passando por P(3,-1,\tfrac{7}{2}) e direção (3,2,-1), é
\begin{cases} x = 3 + 3t,\\\ y = -1 + 2t,\\\ z = \tfrac{7}{2} - t. \end{cases}

Resposta

Plano tangente:
z = 3x + 2y - \frac{7}{2}.
Reta normal:
\bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(3,-1,\tfrac{7}{2}\bigr) + t\,(3,2,-1).

Exercícios relacionados