25^{\circ} ) Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao elipsoide \frac{x^{2}}{4}+y^{2}+\frac{z^{2}}{9}=3 no ponto ( 2,-1, \frac{3}{2} ).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente e a reta normal ao elipsoide
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}+\frac{z^{2}}{9}=3
no ponto P=(2,-1,\tfrac{3}{2}). Para isso, vamos usar a função
F(x,y,z)=\frac{x^{2}}{4}+y^{2}+\frac{z^{2}}{9}-3
cujas propriedades conhecemos: o gradiente \nabla F(P) é perpendicular ao plano tangente em P e aponta na direção da reta normal.

Passo 2

Calcular o gradiente de F:
\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{x}{2},\quad \frac{\partial F}{\partial y}=2y,\quad \frac{\partial F}{\partial z}=\frac{2z}{9}.
Em P=(2,-1,\tfrac{3}{2}) isso dá
\nabla F(P) =\Bigl(\tfrac{2}{2},\,2\cdot(-1),\,\tfrac{2\cdot(3/2)}{9}\Bigr) =(1,\,-2,\,\tfrac{1}{3}).

Passo 3

Escrever a equação do plano tangente usando \nabla F(P)\cdot\bigl((x,y,z)-P\bigr)=0, ou seja,
1\,(x-2)\;-\;2\,(y+1)\;+\;\tfrac{1}{3}\Bigl(z-\tfrac{3}{2}\Bigr)\;=\;0.

Passo 4

Simplificar essa equação:
x-2-2y-2+\tfrac{1}{3}z-\tfrac{1}{2}=0 \;\Longrightarrow\; x-2y+\tfrac{1}{3}z-\tfrac{9}{2}=0.
Multiplicando por 6 para limpar denominadores:
6x-12y+2z-27=0.

Passo 5

A reta normal passa por P e tem direção \nabla F(P)=(1,-2,\tfrac{1}{3}). Em forma paramétrica:
\ell:\;(x,y,z)=(2,-1,\tfrac{3}{2})+t\,(1,-2,\tfrac{1}{3}), \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Plano tangente:
6x-12y+2z-27=0.
Reta normal:
(x,y,z)=(2,-1,\tfrac{3}{2})+t\,(1,-2,\tfrac{1}{3}),\quad t\in\mathbb{R}.

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