B.7.26 Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é:
G(s)=\frac{K}{s\left(s^{2}+s+4\right)}
Determine o valor do ganho K tal que a margem de fase seja de 50^{\circ}. Qual é a margem de ganho com esse mesmo valor de K ?

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência de malha aberta
G(s)=\frac{K}{s\bigl(s^{2}+s+4\bigr)}
e pede o ganho K que garanta margem de fase de 50^\circ e, para esse K, a margem de ganho. Para resolver precisamos (1) obter a frequência de cruzamento de ganho \omega_{gc} tal que o ângulo de G(j\omega) satisfaça a margem de fase desejada e (2) achar K impondo \bigl|G(j\omega_{gc})\bigr|=1. Em seguida vamos calcular a margem de ganho encontrando a frequência de cruzamento de fase e determinando o inverso da magnitude ali.

Passo 2

Escrevemos a fase de G(j\omega) (ignorando o sinal de K, pois ele não altera a fase):
G(j\omega)=\frac{K}{j\omega\bigl(4-\omega^{2}+j\omega\bigr)},
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\arg G(j\omega)=-90^\circ - \arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{4-\omega^{2}}\bigr).
A margem de fase PM é dada por
PM = 180^\circ + \arg G\bigl(j\omega_{gc}\bigr)
e queremos PM=50^\circ, ou seja
180^\circ -90^\circ - \arctan\!\bigl(\tfrac{\omega_{gc}}{4-\omega_{gc}^{2}}\bigr) =50^\circ \quad\Longrightarrow\quad \arctan\!\bigl(\tfrac{\omega_{gc}}{4-\omega_{gc}^{2}}\bigr)=40^\circ.

Passo 3

Da equação
\tan 40^\circ = \frac{\omega_{gc}}{4-\omega_{gc}^{2}}
montamos a equação quadrática
\tan40^\circ\;\omega_{gc}^{2} + \omega_{gc} - 4\,\tan40^\circ = 0
cuja solução positiva é
\omega_{gc}\approx1,49\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Impondo \bigl|G(j\omega_{gc})\bigr|=1, temos
1 = \frac{K}{\omega_{gc}\,\sqrt{(4-\omega_{gc}^{2})^{2}+\omega_{gc}^{2}}},
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K = \omega_{gc}\,\sqrt{(4-\omega_{gc}^{2})^{2}+\omega_{gc}^{2}} \approx1{,}49\;\sqrt{(4-2{,}22)^{2}+2{,}22} \approx3{,}46.

Passo 5

Para a margem de ganho achamos a frequência de cruzamento de fase \omega_{pc} em que \arg G(j\omega_{pc})=-180^\circ:
-90^\circ - \arctan\!\bigl(\tfrac{\omega_{pc}}{4-\omega_{pc}^{2}}\bigr)=-180^\circ \quad\Longrightarrow\quad \arctan\!\bigl(\tfrac{\omega_{pc}}{4-\omega_{pc}^{2}}\bigr)=90^\circ
o que ocorre quando 4-\omega_{pc}^{2}=0, ou seja
\omega_{pc}=2\\ \text{rad/s}.

Passo 6

A magnitude em \omega_{pc} é
\bigl|G(j2)\bigr|=\frac{K}{2\;\sqrt{(4-4)^{2}+2^{2}}} =\frac{K}{2\cdot2}=\frac{K}{4} \approx\frac{3{,}46}{4}=0{,}865.
Assim a margem de ganho é
GM = \frac{1}{\bigl|G(j2)\bigr|}\approx1{,}16 \quad\text{(ou }20\log_{10}1{,}16\approx1{,}3\text{ dB).}

Resposta

K\approx3{,}46 para PM=50^\circ.
Com esse K, a margem de ganho é GM\approx1{,}16 ( \approx 1,3 dB).

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