B.7.28 Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é:
G(s)=\frac{K}{s\left(s^{2}+s+0,5\right)}
Determine o valor de K tal que o valor do pico de ressonância na resposta em frequência seja de 2 dB ou M_{r}=2 \mathrm{~dB}.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência de malha aberta
G(s)=\frac{K}{s\,(s^2+s+0{,}5)}
com realimentação unitária, e pede o valor de K tal que o pico de ressonância da resposta em frequência fechada
T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}
seja M_{r}=2 dB. Para isso vamos (1) obter \bigl|T(j\omega)\bigr|, (2) achar a frequência \omega_r de pico, (3) impor \max_{\omega}\bigl|T(j\omega)\bigr|=10^{2/20} e (4) resolver para K.

Passo 2

Escrevendo
T(j\omega)=\frac{G(j\omega)}{1+G(j\omega)} =\frac{\displaystyle\frac{K}{D(j\omega)}}{1+\displaystyle\frac{K}{D(j\omega)}} =\frac{K}{D(j\omega)+K},
onde, com s=j\omega,
D(j\omega)=j\omega\bigl((j\omega)^2+j\omega+0{,}5\bigr) =-\omega^2 + j\,\omega\,(0{,}5-\omega^2).
Assim o módulo ao quadrado fica
\bigl|T(j\omega)\bigr|^2 =\frac{K^2}{\bigl(\Re\{D\}+K\bigr)^2+\bigl(\Im\{D\}\bigr)^2} =\frac{K^2}{(K-\omega^2)^2+\omega^2(\omega^2-0{,}5)^2}.

Passo 3

O pico de \bigl|T(j\omega)\bigr| ocorre onde o denominador
D_{\rm cl}(\omega) =(K-\omega^2)^2+\omega^2(\omega^2-0{,}5)^2
é mínimo. Calculamos
\frac{dD_{\rm cl}}{d\omega} =-4\omega(K-\omega^2)+2\omega(\omega^2-0{,}5)^2+4\omega^3(\omega^2-0{,}5)=0.
Dividindo por 2\omega e agrupando, chega-se a
3\,\omega^4+0{,}25-2\,K=0 \quad\Longrightarrow\quad \omega_r^4=\frac{2K-0{,}25}{3}.
Definindo \displaystyle A=\omega_r^2=\sqrt{\frac{2K-0{,}25}{3}}, temos
D_{\rm cl,min} =(K-A)^2+A(A-0{,}5)^2.

Passo 4

No pico vale
\max_{\omega}\bigl|T(j\omega)\bigr|^2 =\frac{K^2}{D_{\rm cl,min}} \stackrel{!}{=}\bigl(10^{2/20}\bigr)^2 \approx1{,}5849.
Logo a equação para K é
\frac{K^2}{(K-A)^2+A(A-0{,}5)^2}=1{,}5849, \quad A=\sqrt{\frac{2K-0{,}25}{3}}.
Resolvendo numericamente por tentativas (ou Newton), encontra-se
K\approx8{,}3.

Resposta

K\approx8{,}3

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