3.26 Um regulador paralelo utiliza um diodo zener cuja tensão é de 5,1 \mathrm{~V} com uma corrente de 50 mA e cuja resistência dinâmica é de 7 \Omega. O diodo recebe alimentação de uma tensão nominal de 15 V através de um resistor de 200 \Omega. Qual a tensão de saída sem carga? Calcule a regulação de linha e a regulação de carga.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Qual a tensão de saída sem carga (ou seja, V_{out} quando não há corrente de carga)?
  • Calcular a regulação de linha.
  • Calcular a regulação de carga.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Tensão zener nominal: V_{Z0}=5,1\\ \mathrm{V} à corrente I_{Z0}=50\\ \mathrm{mA}.
  • Resistência dinâmica do zener: r_z=7\\ \Omega.
  • Fonte de alimentação: V_{in}=15\\ \mathrm{V}.
  • Resistor série: R_s=200\\ \Omega.
  • Situação inicial: circuito regulador paralelo (diodo zener em paralelo com saída), e queremos a saída sem carga (corrente de carga I_L=0).
Observação do que será calculado depois:
  • Para obter V_{out} sem carga usarei o modelo linearizado do zener próximo do ponto nominal: a tensão real do zener varia com a corrente segundo a relação linear usando r_z.
  • Para regulação de linha vou derivar a resposta em pequeno-sinal \dfrac{\Delta V_{out}}{\Delta V_{in}}.
  • Para regulação de carga vou derivar a resposta em pequeno-sinal \dfrac{\Delta V_{out}}{\Delta I_L} (volts por ampere, que tem dimensão de ohms).

Passo 2

Modelo e equações básicas (explicação didática do que vou usar).
  • Quando linearizamos o diodo zener em torno do ponto de operação I_{Z0}, podemos escrever que pequenas variações da tensão zener em relação a V_{Z0} obedecem a
\Delta V_{Z}=r_z\,\Delta I_{Z},
onde \Delta I_{Z} é a variação da corrente de zener e r_z é a resistência dinâmica. Aqui V_{out} é a tensão no catodo do zener, então V_{out}=V_Z.
  • No ponto de operação exato (não apenas pequenas variações) podemos usar a relação aproximada
V_{out}=V_{Z0}+r_z\,(I_Z-I_{Z0}).
Nessa fórmula: V_{Z0} é a tensão nominal dada ( 5,1\\ \mathrm{V}), I_{Z0} é a corrente nominal dada ( 50\\ \mathrm{mA}) e I_Z é a corrente real do zener no circuito.
  • A outra equação do circuito é a lei das tensões/correntes no resistor série:
I_Z=\frac{V_{in}-V_{out}}{R_s},
quando não há carga ( I_L=0), pois toda corrente que sai do resistor vai para o zener.
  • Com essas duas equações (a relação tensão-corrente do zener linearizado e a lei do resistor) podemos resolver para V_{out} e I_Z.

Passo 3

Resolver para V_{out} sem carga (montagem das equações).
Usando a relação linearizada do zener:
V_{out}=V_{Z0}+r_z\,(I_Z-I_{Z0}).
Substituindo os valores conhecidos:
V_{out}=5,1 + 7\,(I_Z-0,050).
Simplificando a constante:
V_{out}=5,1 + 7I_Z - 0,35 = 4,75 + 7I_Z.
A outra equação é
I_Z=\frac{V_{in}-V_{out}}{R_s}=\frac{15-V_{out}}{200}.
Agora substituímos I_Z na expressão de V_{out}:
V_{out}=4,75 + 7\left(\frac{15-V_{out}}{200}\right).

Passo 4

Calcular numericamemente V_{out} (resolver a equação).
Calcule o termo com 7/200:
7\left(\frac{15-V_{out}}{200}\right)=\frac{7\cdot15}{200}-\frac{7}{200}V_{out}=0,525-0,035V_{out}.
Logo a equação vira
V_{out}=4,75 + 0,525 - 0,035V_{out}.
Somando constantes:
V_{out}=5,275 - 0,035V_{out}.
Passando o termo em V_{out} para o lado esquerdo:
V_{out}+0,035V_{out}=5,275
1,035V_{out}=5,275
V_{out}=\frac{5,275}{1,035}\approx 5,0995\\ \mathrm{V}.
Arredondando apropriadamente:
V_{out}\approx 5,10\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Calcular a corrente do zener sem carga (para informação e verificação).
Usando I_Z=(15-V_{out})/200:
I_Z=\frac{15-5,0995}{200}=\frac{9,9005}{200}\approx 0,0495025\\ \mathrm{A}\approx 49,5\\ \mathrm{mA}.
Comentário: o valor está próximo de 50\\ \mathrm{mA}, o que faz sentido — o circuito foi projetado para esse ponto de operação.

Passo 6

Derivar e calcular a regulação de linha (explicação do conceito e fórmula).
  • Conceito: regulação de linha mede quanto a tensão de saída muda quando a tensão de entrada muda. Para pequenas variações podemos usar o modelo de pequenos sinais: o zener se comporta como r_z para pequenas variações, e o resistor série é R_s. Então temos um divisor de tensão pequeno-sinal entre R_s e r_z (com r_z ligado ao terra), de modo que
\frac{\Delta V_{out}}{\Delta V_{in}}=\frac{r_z}{R_s+r_z}.
Explicação curta: uma pequena variação \Delta V_{in} causa uma corrente \Delta I=\Delta V_{in}/R_s que ao dividir entre r_z e o caminho de entrada efetivamente gera a fração indicada; essa é a forma padrão de obter a transferência de pequenos sinais do ingresso para a saída no regulador zener paralelo.
  • Substituindo valores:
\frac{\Delta V_{out}}{\Delta V_{in}}=\frac{7}{200+7}=\frac{7}{207}\approx 0,033816.
Convertendo para percentagem:
0,033816\times100\%\approx 3,38\%.
Também é comum expressar em \mathrm{mV/V}:
0,033816\\ \mathrm{V/V}=33,8\\ \mathrm{mV/V}.

Passo 7

Derivar e calcular a regulação de carga (explicação do conceito e fórmula).
  • Conceito: regulação de carga mede quanto a tensão de saída muda quando a corrente de carga muda. Para pequenas variações com V_{in} fixo, usamos o pequeno-sinal e aplicamos KCL no nó de saída. Partindo de
\frac{V_{in}-V_{out}}{R_s}=I_Z+I_L,
fazendo variações pequenas com V_{in} fixo ( \Delta V_{in}=0):
-\frac{\Delta V_{out}}{R_s}=\Delta I_Z + \Delta I_L.
Além disso \Delta V_{out}=r_z\,\Delta I_Z, então \Delta I_Z=\Delta V_{out}/r_z. Substituindo:
-\frac{\Delta V_{out}}{R_s}=\frac{\Delta V_{out}}{r_z}+\Delta I_L.
Rearranjando para obter \Delta V_{out} em função de \Delta I_L:
\left(-\frac{1}{R_s}-\frac{1}{r_z}\right)\Delta V_{out}=\Delta I_L
\Delta V_{out}=-\Delta I_L\frac{R_s r_z}{R_s+r_z}.
Logo a sensibilidade (regulação de carga) é
\frac{\Delta V_{out}}{\Delta I_L}=-\frac{R_s r_z}{R_s+r_z}.
  • Substituindo valores numéricos:
\frac{\Delta V_{out}}{\Delta I_L}=-\frac{200\cdot 7}{200+7}=-\frac{1400}{207}\approx -6,7638\\ \Omega.
Interpretação: para cada ampere adicional de carga, a tensão de saída cai cerca de 6,76\\ \mathrm{V}; mais útil na prática é por mA:
-6,7638\\ \mathrm{V/A}=-6,7638\\ \mathrm{mV/mA}.
Ou seja, se a carga absorver 10\\ \mathrm{mA} a mais, V_{out} cairá aproximadamente 67,6\\ \mathrm{mV}.

Resposta

V_{out} sem carga \approx 5,10\\ \mathrm{V}
Regulação de linha \displaystyle \frac{\Delta V_{out}}{\Delta V_{in}}=\frac{r_z}{R_s+r_z}=\frac{7}{207}\approx 0,0338 (ou 3,38\%, i.e. 33,8\\ \mathrm{mV/V})
Regulação de carga \displaystyle \frac{\Delta V_{out}}{\Delta I_L}=-\frac{R_s r_z}{R_s+r_z}\approx -6,76\\ \Omega (i.e. -6,76\\ \mathrm{V/A}=-6,76\\ \mathrm{mV/mA})

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