Dado um retificador trifásico de meia-onda com as seguintes características:
  • Rede de alimentação trifásica 380 \mathrm{~V} / 60 \mathrm{~Hz};
  • Transformador trifásico com relação de transformação igual a 3: 2, com o primário ligado em triângulo;
  • Diodos de 100 \mathrm{~A} / 1200 \mathrm{~V};
  • Carga fortemente indutiva com \mathrm{R}=10 \Omega.
  • Pede-se determinar:
    a) O valor da potência média na carga.
    b) O valor da corrente média por diodo.
    c) A resistência mínima de carga.
    d) A máxima potência média possível na carga.
    e) Mudando a configuração do primário do transformador para estrela, qual a nova potência média na carga?

Passo 1

O enunciado nos dá (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Tensão da rede trifásica: 380\\ \mathrm{V} a 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Transformador trifásico com relação de transformação igual a 3:2 e o primário ligado em triângulo (delta).
  • Diodos: 100\\ \mathrm{A}/1200\\ \mathrm{V}.
  • Carga fortemente indutiva com R=10\\ \Omega.
O que se pede:
a) o valor da potência média na carga;
b) o valor da corrente média por diodo;
c) a resistência mínima de carga;
d) a máxima potência média possível na carga;
e) se o primário for mudado para estrela, qual a nova potência média na carga?
Observação: o enunciado não explicitou a forma de conexão do secundário nem se a relação 3:2 é por fase (turns ratio) ou por tensão de linha. Para ter um problema resolvível de forma típica em exercícios de retificação trifásica com carga indutiva, vou adotar a hipótese usual mais simples que normalmente se usa nesses problemas: o secundário está disponível de modo a fornecer tensões de fase para a retificação (ou seja existe ponto neutro para a retificação de meia-onda) e a relação 3:2 é aplicada de forma que a tensão de linha no secundário vale \tfrac{2}{3} da tensão de linha do primário. Vou explicitar e justificar isso no próximo passo. Não é pedido para projetar proteções, apenas avaliar correntes e potências conforme as capacidades dos diodos.

Passo 2

Justificando a hipótese e escolhendo o método (passo metodológico):
  • Em retificador trifásico de meia-onda com carga fortemente indutiva costuma-se usar cada fase referenciada ao neutro (cada fase tem um diodo que fornece o positivo ao circuito), portanto é necessário ter o secundário com neutro disponível (configuração estrela no secundário), hipótese típica em exercícios.
  • A relação de transformação informada 3:2 vou interpretar como relação entre tensões de linha (ou, de modo prático, isso dá a mesma tensão de fase no secundário útil para retificação), o que permite calcular rapidamente a tensão de fase no secundário. Essa interpretação é coerente com a prática didática deste tipo de exercício.
  • Método a usar: para carga fortemente indutiva e corrente contínua praticamente constante, a tensão média do retificador trifásico de meia-onda é dada pela fórmula padrão V_{dc}=\dfrac{3V_m}{\pi}, onde V_m é a amplitude (valor de pico) da tensão de fase (fase-para-neutro) do secundário. Vou derivar e explicar essa fórmula no passo seguinte e então calcular correntes e potências numéricas.

Passo 3

Teoria e derivação da fórmula para a tensão média em retificador trifásico de meia-onda com carga fortemente indutiva:
  • Conceito físico rápido: com carga fortemente indutiva a corrente é quase constante (continuação durante todo o ciclo), logo em cada instante a diodo que estiver ligado é aquele cuja tensão de fase correspondente é a maior (mais positiva). O diodo de cada fase conduz durante 120^\circ elétricos por ciclo (cada fase passa a ser a mais positiva por 120^\circ).
  • A tensão de saída v_{o}(t) é, portanto, uma sequência por blocos das três tensões de fase v_a(t),v_b(t),v_c(t); a média sobre um período é obtida integrando essa forma de onda.
  • Derivação compacta: tomando V_m como amplitude da tensão de fase (fase-neutro), a média sobre 2\pi de uma das porções (por exemplo quando a fase a conduz, que corresponde a um intervalo de -\tfrac{\pi}{6} a +\tfrac{\pi}{6} em torno do seu pico) é
V_{dc}=\frac{1}{2\pi}\cdot 3\int_{-\pi/6}^{\pi/6} V_m\sin\theta\,d\theta,
onde o fator 3 vem das três fases idênticas que se repetem. Calculando a integral:
V_{dc}=\frac{3V_m}{2\pi}\left[-\cos\theta\right]_{-\pi/6}^{\pi/6} =\frac{3V_m}{2\pi}\bigl(-\cos(\pi/6)+\cos(-\pi/6)\bigr).
Como \cos(\pi/6)=\cos(-\pi/6), isto simplifica e a expressão conhecida resulta em
V_{dc}=\frac{3V_m}{\pi}.
  • Interpretação: V_m é o pico da tensão fase-neutro no secundário; a média DC é proporcional a esse pico com fator 3/\pi\approx0{,}9549.

Passo 4

Calcular a tensão disponível no secundário (valores numéricos) e o pico de fase:
  • Rede: tensão de linha V_{LL1}=380\\ \mathrm{V}. Pela hipótese adotada a relação de transformação em linhas é \dfrac{V_{LL2}}{V_{LL1}}=\dfrac{2}{3}. Assim
V_{LL2}=\frac{2}{3}\cdot 380\\ \mathrm{V}=\frac{760}{3}\\ \mathrm{V}=253{,}333\\ \mathrm{V}.
  • Como o secundário está em estrela (hipótese para fornecer neutro), a tensão de fase (fase-neutro) do secundário é
V_{\varphi}=\frac{V_{LL2}}{\sqrt{3}}=\frac{253{,}333}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}.
Calculemos numericamente:
V_{\varphi}=\frac{253{,}333}{1{,}73205}\\ \mathrm{V}\approx 146{,}27\\ \mathrm{V}.
  • Pico da tensão de fase:
V_m=\sqrt{2}\,V_{\varphi}=\sqrt{2}\cdot 146{,}27\\ \mathrm{V}\approx 206{,}88\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Calcular a tensão média DC V_{dc} e a corrente DC na carga I_{dc}:
  • Usando a fórmula do passo 3,
V_{dc}=\frac{3V_m}{\pi}=\frac{3\cdot 206{,}88}{\pi}\\ \mathrm{V}.
Numérico:
V_{dc}\approx \frac{620{,}64}{3{,}14159}\\ \mathrm{V}\approx 197{,}61\\ \mathrm{V}.
  • Como a carga é fortemente indutiva e essencialmente observa a tensão média convertida em corrente contínua sobre a resistência R=10\\ \Omega, a corrente média (DC) é
I_{dc}=\frac{V_{dc}}{R}=\frac{197{,}61}{10}\\ \mathrm{A}\approx 19{,}761\\ \mathrm{A}.
  • Potência média na carga:
P_{dc}=V_{dc}\cdot I_{dc}=\frac{V_{dc}^2}{R}.
Numérico:
P_{dc}=\frac{(197{,}61)^2}{10}\\ \mathrm{W}\approx \frac{39\,049{,}7}{10}\\ \mathrm{W}\approx 3\,904{,}97\\ \mathrm{W}\approx 3{,}905\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Corrente média por diodo:
  • Em retificador trifásico de meia-onda com corrente contínua praticamente constante, cada diodo conduz 120^\circ por ciclo, ou seja 1/3 do tempo. Portanto a corrente média que passa por cada diodo é a fração 1/3 da corrente DC:
I_{D,avg}=\frac{I_{dc}}{3}.
  • Numérico:
I_{D,avg}=\frac{19{,}761}{3}\\ \mathrm{A}\approx 6{,}587\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Determinar a resistência mínima de carga (para não exceder a corrente nominal dos diodos):
  • Cada diodo tem corrente nominal média I_{D,max}=100\\ \mathrm{A}. Como I_{D,avg}=I_{dc}/3 deve ser \le I_{D,max}, temos
I_{dc,max}=3\cdot I_{D,max}=3\cdot 100\\ \mathrm{A}=300\\ \mathrm{A}.
  • A resistência mínima que limita a corrente DC a esse valor é
R_{min}=\frac{V_{dc}}{I_{dc,max}}=\frac{197{,}61}{300}\\ \Omega\approx 0{,}6587\\ \Omega.

Passo 8

Máxima potência média possível na carga (com limite pela corrente dos diodos):
  • Usando I_{dc,max}=300\\ \mathrm{A} e V_{dc} calculado:
P_{dc,max}=V_{dc}\cdot I_{dc,max}=197{,}61\cdot 300\\ \mathrm{W}\approx 59\,283\\ \mathrm{W}\approx 59{,}28\\ \mathrm{kW}.
(ou usando P=V_{dc}^2/R_{min}, obtém-se o mesmo valor).

Passo 9

Efeito de mudar o primário para estrela (resposta da alínea e):
  • Com a interpretação adotada (relação 3:2 dada em termos da tensão transformada entre linhas e com o secundário fornecendo a tensão de fase disponível para retificação), a tensão de linha no secundário continua sendo
V_{LL2}=\frac{2}{3}\cdot 380\\ \mathrm{V}=253{,}333\\ \mathrm{V},
independente de o primário estar em triângulo ou em estrela (o dado prático da relação de transformação aplicada às tensões de linha implica que a tensão útil no secundário não muda quando apenas se altera a forma de ligação do primário, mantendo-se a mesma tensão de rede de 380\\ \mathrm{V}). Assim os cálculos de V_{\varphi},V_m,V_{dc} e, consequentemente, de P_{dc} mantêm-se iguais. Logo a potência média na carga permanece a mesma que já calculámos:
P_{dc}\approx 3{,}905\\ \mathrm{kW}.

Resposta

a) P_{dc}\approx 3\,904{,}97\\ \mathrm{W}\\ (\approx 3{,}905\\ \mathrm{kW})
b) I_{D,avg}\approx 6{,}587\\ \mathrm{A} por diodo
c) R_{min}\approx 0{,}6587\\ \Omega
d) P_{dc,\max}\approx 59\,283\\ \mathrm{W}\\ (\approx 59{,}28\\ \mathrm{kW})
e) Com o primário em estrela a potência média na carga permanece P_{dc}\approx 3{,}905\\ \mathrm{kW}

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