Faça um esboço gráfico à mão do sinal:
x(t)=2 u(t)-2 u(t-2)+u(t+1)-u(t-4)

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=2\,u(t)-2\,u(t-2)+u(t+1)-u(t-4)
e pede um esboço gráfico à mão de x(t).
Informações importantes fornecidas:
  • A função escalão unitário é usada em quatro termos: u(t), u(t-2), u(t+1) e u(t-4).
  • Não foi dada outra convenção, então usarei a definição padrão \,u(t)=0 para t<0 e \,u(t)=1 para t\ge0.
  • O objetivo é desenhar o comportamento de x(t) em toda a reta, identificando saltos e níveis.

Passo 2

O que é o escalão unitário [u(t)) e como funcionam deslocamentos e multiplicações por constantes?
Definição e propriedades básicas:
u(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] 1, & t\ge 0. \end{cases}
  • Multiplicar por uma constante A\] dá um degrau de altura \(A: A\,u(t) vale 0 antes de t=0 e A a partir de t=0.
  • Um deslocamento u(t-a) desloca o salto para t=a: u(t-a)=1 para t\ge a, e 0 para t<a.
  • Assim, cada termo do sinal é um degrau (possivelmente deslocado e escalado).]

Passo 3

Reescrevendo x(t) como soma de dois pares de degraus para interpretar melhor:
x(t)=2\bigl[u(t)-u(t-2)\bigr]+\bigl[u(t+1)-u(t-4)\bigr].
Explicação desta reescrita:
  • u(t)-u(t-2) é um pulso retangular (degrau subtraído) que vale 1 para 0\le t<2 e 0 fora desse intervalo. Multiplicando por 2 resulta num pulso de altura 2 no intervalo [0,2).
  • u(t+1)-u(t-4) é um pulso que vale 1 para -1\le t<4 e 0 fora. (Porque o salto positivo começa em t=-1 e o negativo em t=4.)
  • A soma desses pulsos dá a forma final de x(t). Esta visão em termos de pulsos facilita desenhar o sinal: sobrepor um pulso de altura 2 em [0,2) com um pulso de altura 1 em [-1,4).

Passo 4

Determinar os instantes críticos (pontos em que algum escalão muda): são os pontos onde aparecem os deslocamentos:
t=-1,\quad t=0,\quad t=2,\quad t=4.
Esses pontos dividem a reta em cinco intervalos onde x(t) é constante:
(-\infty,-1),\quad [-1,0),\quad [0,2),\quad [2,4),\quad [4,\infty).

Passo 5

Calcular x(t) em cada intervalo aplicando a definição do escalão (com u(0)=1):
  • Para t< -1:
    u(t)=0,\quad u(t-2)=0,\quad u(t+1)=0,\quad u(t-4)=0,
    logo
    x(t)=0.
  • Para -1\le t<0:
    u(t)=0,\quad u(t-2)=0,\quad u(t+1)=1,\quad u(t-4)=0,
    logo
    x(t)=0-0+1-0=1.
  • Para 0\le t<2:
    u(t)=1,\quad u(t-2)=0,\quad u(t+1)=1,\quad u(t-4)=0,
    logo
    x(t)=2\cdot1-2\cdot0+1-0=3.
  • Para 2\le t<4:
    u(t)=1,\quad u(t-2)=1,\quad u(t+1)=1,\quad u(t-4)=0,
    logo
    x(t)=2\cdot1-2\cdot1+1-0=1.
  • Para t\ge 4:
    u(t)=1,\quad u(t-2)=1,\quad u(t+1)=1,\quad u(t-4)=1,
    logo
    x(t)=2-2+1-1=0.
Resumo dos níveis: 0 \to 1 \to 3 \to 1 \to 0 com saltos em t=-1,0,2,4.

Passo 6

Como desenhar o esboço à mão (passo a passo prático):
  1. Desenhe um eixo horizontal (tempo t) e um eixo vertical para x(t).
  2. Marque os instantes \,t=-1,\,t=0,\,t=2,\,t=4.
  3. Desenhe segmentos horizontais em cada intervalo com os valores calculados:
    • Para t< -1: linha em x=0.
    • Para -1\le t<0: linha em x=1.
    • Para 0\le t<2: linha em x=3.
    • Para 2\le t<4: linha em x=1.
    • Para t\ge 4: linha em x=0.
  4. Em cada ponto de salto faça uma linha vertical para indicar o salto; usando a convenção u(0)=1 os valores nos pontos de fronteira ficam como nos intervalos à direita (por exemplo em t=0 o valor é 3).
  5. Opcional: coloque círculos preenchidos nos pontos onde o valor é incluído e círculos vazios onde fosse excluído (mas com a convenção dada não há ambiguidade necessária aqui).
Um esboço ASCII simples (apenas para guiar; desenhe melhor à mão):
t: —|---|—|---->
-1 0 2 4
x: 0 ________ _______
\ /
_1_____/ (detalhe: valores 0 →1→3→1→0)
_3_/
_1_/
_0

Passo 7

Verificação rápida por inspeção: soma dos pulsos descritos em

Resposta

x(t)=\begin{cases} 0, & t< -1,\\[4pt] 1, & -1 \le t < 0,\\[4pt] 3, & 0 \le t < 2,\\[4pt] 1, & 2 \le t < 4,\\[4pt] 0, & t \ge 4. \end{cases}]

Exercícios relacionados