Faça um esboço gráfico à mão do sinal:
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e pede um esboço gráfico à mão de
.
Informações importantes fornecidas:
- A função escalão unitário é usada em quatro termos:
, , e . - Não foi dada outra convenção, então usarei a definição padrão
para e para . - O objetivo é desenhar o comportamento de
em toda a reta, identificando saltos e níveis.
Passo 2
O que é o escalão unitário [u(t)) e como funcionam deslocamentos e multiplicações por constantes?
Definição e propriedades básicas:
- Multiplicar por uma constante
:
vale antes de e a partir de . - Um deslocamento
desloca o salto para : para , e para . - Assim, cada termo do sinal é um degrau (possivelmente deslocado e escalado).]
Passo 3
Reescrevendo
como soma de dois pares de degraus para interpretar melhor:
Explicação desta reescrita:
-
é um pulso retangular (degrau subtraído) que vale para e fora desse intervalo. Multiplicando por resulta num pulso de altura no intervalo . -
é um pulso que vale para e fora. (Porque o salto positivo começa em e o negativo em .) - A soma desses pulsos dá a forma final de
. Esta visão em termos de pulsos facilita desenhar o sinal: sobrepor um pulso de altura em com um pulso de altura em .
Passo 4
Determinar os instantes críticos (pontos em que algum escalão muda): são os pontos onde aparecem os deslocamentos:
Esses pontos dividem a reta em cinco intervalos onde
é constante:
Passo 5
Calcular
em cada intervalo aplicando a definição do escalão (com
):
-
Para
: logo -
Para
: logo -
Para
: logo -
Para
: logo -
Para
: logo
Resumo dos níveis:
com saltos em
.
Passo 6
Como desenhar o esboço à mão (passo a passo prático):
- Desenhe um eixo horizontal (tempo
) e um eixo vertical para . - Marque os instantes
. - Desenhe segmentos horizontais em cada intervalo com os valores calculados:
- Para
: linha em . - Para
: linha em . - Para
: linha em . - Para
: linha em . - Para
: linha em .
- Para
- Em cada ponto de salto faça uma linha vertical para indicar o salto; usando a convenção
os valores nos pontos de fronteira ficam como nos intervalos à direita (por exemplo em o valor é ). - Opcional: coloque círculos preenchidos nos pontos onde o valor é incluído e círculos vazios onde fosse excluído (mas com a convenção dada não há ambiguidade necessária aqui).
Um esboço ASCII simples (apenas para guiar; desenhe melhor à mão):
t: —|---|—|---->
-1 0 2 4
t: —|---|—|---->
-1 0 2 4
x: 0 ________ _______
\ /
_1_____/ (detalhe: valores 0 →1→3→1→0)
_3_/
_1_/
_0
\ /
_1_____/ (detalhe: valores 0 →1→3→1→0)
_3_/
_1_/
_0
Passo 7
Verificação rápida por inspeção: soma dos pulsos descritos em