Questão
Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K. Analise as afirmativas a seguir e marque a opção correta.
I
Qualquer conjunto de n vetores
Linearmente Independente forma uma
base de V.
II
Qualquer conjunto de vetores
Linearmente Independente com menos
de n elementos pode ser completado para
formar uma base de V.
(a) Apenas I é verdadeira.
(b) Apenas II é verdadeira.
(c) I é verdadeira e II é falsa.
(d) I e II são verdadeiras.
(e) I e II são falsas.
| I |
|
||||
| II |
|
(b) Apenas II é verdadeira.
(c) I é verdadeira e II é falsa.
(d) I e II são verdadeiras.
(e) I e II são falsas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (texto do enunciado traçado aqui):
- Seja
um espaço vetorial de dimensão sobre um corpo . - Duas afirmações a serem analisadas:
I. Qualquer conjunto de
vetores linearmente independente forma uma base de
.
II. Qualquer conjunto de vetores linearmente independente com menos de
elementos pode ser completado para formar uma base de
.
O que o exercício pede: decidir quais das afirmações I e II são verdadeiras e marcar a opção correta entre as alternativas (a)–(e).
Passo 2
Lembrete didático — definições e propriedades que vamos usar (explicadas de forma direta e útil):
- Uma família de vetores é uma base de
quando é linearmente independente e gera (espalha) todo . Ou seja, uma base tem duas propriedades simultâneas: independência linear e geradora. - A dimensão
de é o número de vetores em qualquer base de . Logo, todo conjunto gerador mínimo ou toda base tem exatamente vetores. - Propriedade-chave que vamos usar muitas vezes: em um espaço vetorial de dimensão
, não existe conjunto de vetores linearmente independentes com mais de elementos; e todo conjunto gerador contém uma base (pode-se retirar vetores até ficar com uma base).
Vou usar essas ideias para analisar I e II passo a passo.
Passo 3
Análise da afirmação I: “Qualquer conjunto de
vetores linearmente independente forma uma base de
.”\n
Explicação detalhada e prova: seja um conjunto de
vetores linearmente independente em
. Para que
seja base precisamos mostrar que
gera
, isto é,
.
Explicação detalhada e prova: seja
Suponha, por contradição, que
não gere
. Então existe um vetor
tal que
. Considere o conjunto
. Vou mostrar que
é linearmente independente: se houver escalares
tais que
então, se
, isolamos
e escrevemos
o que contradiz
. Logo
e então
. Como
é linearmente independente, segue
. Assim todos os coeficientes são zero e
é linearmente independente.
Mas isso dá uma contradição com a definição de dimensão: não pode haver um conjunto linearmente independente com mais de
vetores em
. Conclusão: nossa hipótese de que
não gera
é falsa. Portanto
gera
e, como já é independente,
é uma base.
Conclusão do Passo: a afirmação I é verdadeira.
Passo 4
Comentário pedagógico rápido sobre o que acabou de ser usado (para gravar na cabeça): a ideia essencial é simples e muito usada em provas — se se tem
vetores independentes num espaço de dimensão
, não sobra “espaço” para adicionar mais vetores independentes; logo eles já geram o espaço todo. O argumento com contradição (adicionar um vetor fora do span e manter independência) é padrão.
Passo 5
Análise da afirmação II: “Qualquer conjunto de vetores linearmente independente com menos de
elementos pode ser completado para formar uma base de
.”\n
Explicação didática e prova construtiva: seja um conjunto linearmente independente com
. Queremos mostrar que existe um conjunto
tal que
e
é uma base de
.
Explicação didática e prova construtiva: seja
Método prático (algoritmo de compleção): comece com
. Se
, então
já é base (logo
teria que ser igual a
; mas aqui
, então isso normalmente não ocorre). Caso
, existe
com
. Então o conjunto
é linearmente independente (mesmo argumento do passo anterior: adicionar vetor fora do span preserva independência). Agora ou
e terminamos, ou ainda
e repetimos: escolhemos
e formamos
. Cada adição aumenta em
o número de vetores e mantém independência.
Esse processo não pode continuar indefinidamente porque já sabemos que não pode haver mais que
vetores independentes em
. Como começamos com
, após no máximo
passos atingiremos um conjunto independente com
vetores; pelo resultado do Passo 3 esse conjunto de
vetores indepentes é uma base. Assim
foi completado para uma base.
Outra justificativa (com base em existência de base): tome qualquer base
de
com
. Os vetores de
são combinações lineares dos vetores de
ou não; pode-se escolher em
os vetores que não estão no span de
e juntá-los a
até formar uma base. Isso é uma versão do lema de troca de Steinitz (mas o algoritmo iterativo acima já é suficiente e construtivo).
Conclusão do Passo: a afirmação II é verdadeira.
Passo 6
Comentário didático e exemplo rápido para fixar (modo amigo explicando): pense em
(
). Se tens um vetor não nulo
(
), podes completar escolhendo por exemplo
e
— depois de adicionar dois vetores fora do span do primeiro, obténs a base padrão. Se tens dois vetores independentes
(
), basta achar um terceiro fora do plano gerado por eles, por exemplo
. Isso ilustra concretamente o algoritmo iterativo que descrevi.
Passo 7
Resumo final das análises: I é verdadeira e II também é verdadeira. Portanto a alternativa correta é a que afirma que I e II são verdadeiras.
Resposta
(d) I e II são verdadeiras.