26{ }^{\text {a }} Questão

Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K. Analise as afirmativas a seguir e marque a opção correta.
I
Qualquer conjunto de n vetores
Linearmente Independente forma uma
base de V.
II
Qualquer conjunto de vetores
Linearmente Independente com menos
de n elementos pode ser completado para
formar uma base de V.
(a) Apenas I é verdadeira.
(b) Apenas II é verdadeira.
(c) I é verdadeira e II é falsa.
(d) I e II são verdadeiras.
(e) I e II são falsas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (texto do enunciado traçado aqui):
  • Seja V um espaço vetorial de dimensão \,n sobre um corpo K.
  • Duas afirmações a serem analisadas:
I. Qualquer conjunto de n vetores linearmente independente forma uma base de V.
II. Qualquer conjunto de vetores linearmente independente com menos de n elementos pode ser completado para formar uma base de V.
O que o exercício pede: decidir quais das afirmações I e II são verdadeiras e marcar a opção correta entre as alternativas (a)–(e).

Passo 2

Lembrete didático — definições e propriedades que vamos usar (explicadas de forma direta e útil):
  • Uma família de vetores é uma base de V quando é linearmente independente e gera (espalha) todo V. Ou seja, uma base tem duas propriedades simultâneas: independência linear e geradora.
  • A dimensão \,n de V é o número de vetores em qualquer base de V. Logo, todo conjunto gerador mínimo ou toda base tem exatamente n vetores.
  • Propriedade-chave que vamos usar muitas vezes: em um espaço vetorial de dimensão \,n, não existe conjunto de vetores linearmente independentes com mais de n elementos; e todo conjunto gerador contém uma base (pode-se retirar vetores até ficar com uma base).
Vou usar essas ideias para analisar I e II passo a passo.

Passo 3

Análise da afirmação I: “Qualquer conjunto de n vetores linearmente independente forma uma base de V.”\n
Explicação detalhada e prova: seja S=\{v_1,\dots,v_n\} um conjunto de n vetores linearmente independente em V. Para que S seja base precisamos mostrar que S gera V, isto é, \operatorname{span}(S)=V.
Suponha, por contradição, que S não gere V. Então existe um vetor w\in V tal que w\notin\operatorname{span}(S). Considere o conjunto S' = S\cup\{w\}=\{v_1,\dots,v_n,w\}. Vou mostrar que S' é linearmente independente: se houver escalares \alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta\in K tais que
\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_n v_n + \beta w = 0,
então, se \beta\neq 0, isolamos w e escrevemos
w = -\frac{1}{\beta}(\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_n v_n),
o que contradiz w\notin\operatorname{span}(S). Logo \beta=0 e então \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_n v_n=0. Como S é linearmente independente, segue \alpha_1=\cdots=\alpha_n=0. Assim todos os coeficientes são zero e S' é linearmente independente.
Mas isso dá uma contradição com a definição de dimensão: não pode haver um conjunto linearmente independente com mais de n vetores em V. Conclusão: nossa hipótese de que S não gera V é falsa. Portanto S gera V e, como já é independente, S é uma base.
Conclusão do Passo: a afirmação I é verdadeira.

Passo 4

Comentário pedagógico rápido sobre o que acabou de ser usado (para gravar na cabeça): a ideia essencial é simples e muito usada em provas — se se tem n vetores independentes num espaço de dimensão n, não sobra “espaço” para adicionar mais vetores independentes; logo eles já geram o espaço todo. O argumento com contradição (adicionar um vetor fora do span e manter independência) é padrão.

Passo 5

Análise da afirmação II: “Qualquer conjunto de vetores linearmente independente com menos de n elementos pode ser completado para formar uma base de V.”\n
Explicação didática e prova construtiva: seja L=\{u_1,\dots,u_k\} um conjunto linearmente independente com k<n. Queremos mostrar que existe um conjunto B tal que L\subseteq B e B é uma base de V.
Método prático (algoritmo de compleção): comece com L. Se \operatorname{span}(L)=V, então L já é base (logo k teria que ser igual a n; mas aqui k<n, então isso normalmente não ocorre). Caso \operatorname{span}(L)\neq V, existe v_1\in V com v_1\notin\operatorname{span}(L). Então o conjunto L_1=L\cup\{v_1\} é linearmente independente (mesmo argumento do passo anterior: adicionar vetor fora do span preserva independência). Agora ou \operatorname{span}(L_1)=V e terminamos, ou ainda \operatorname{span}(L_1)\neq V e repetimos: escolhemos v_2\notin\operatorname{span}(L_1) e formamos L_2=L_1\cup\{v_2\}. Cada adição aumenta em 1 o número de vetores e mantém independência.
Esse processo não pode continuar indefinidamente porque já sabemos que não pode haver mais que n vetores independentes em V. Como começamos com k<n, após no máximo n-k passos atingiremos um conjunto independente com n vetores; pelo resultado do Passo 3 esse conjunto de n vetores indepentes é uma base. Assim L foi completado para uma base.
Outra justificativa (com base em existência de base): tome qualquer base B de V com |B|=n. Os vetores de L são combinações lineares dos vetores de B ou não; pode-se escolher em B os vetores que não estão no span de L e juntá-los a L até formar uma base. Isso é uma versão do lema de troca de Steinitz (mas o algoritmo iterativo acima já é suficiente e construtivo).
Conclusão do Passo: a afirmação II é verdadeira.

Passo 6

Comentário didático e exemplo rápido para fixar (modo amigo explicando): pense em \mathbb{R}^3 ( n=3). Se tens um vetor não nulo \{(1,0,0)\} ( k=1<3), podes completar escolhendo por exemplo (0,1,0) e (0,0,1) — depois de adicionar dois vetores fora do span do primeiro, obténs a base padrão. Se tens dois vetores independentes \{(1,0,0),(0,1,0)\} ( k=2), basta achar um terceiro fora do plano gerado por eles, por exemplo (0,0,1). Isso ilustra concretamente o algoritmo iterativo que descrevi.

Passo 7

Resumo final das análises: I é verdadeira e II também é verdadeira. Portanto a alternativa correta é a que afirma que I e II são verdadeiras.

Resposta

(d) I e II são verdadeiras.

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