Questão 1. (6pts) Encontre
e
da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar as derivadas parciais
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é soma de dois termos:
e . - Para derivadas parciais, ao derivar em relação a
trata-se como constante; ao derivar em relação a trata-se como constante. - Assumir que os argumentos do log e das funções trigonométricas estão em domínio onde as derivadas existem (por exemplo
quando for dividir por ele).
Passo 2
Primeira simplificação útil (propriedade do log): usar
. Assim
Portanto podemos escrever
Passo 3
Relembrando regras que vamos usar (em linguagem simples):
- Derivada do log composto: se
então . Ou seja, . - Regra da cadeia: se temos
, então . - Regra do produto:
. - Para derivada parcial em relação a
: trate como constante; em relação a : trate como constante.
Vou aplicar essas regras passo a passo para cada parcial.
Passo 4
Cálculo de
.
-
Derivada de
em relação a : (Aqui usei a regra da cadeia:, .) -
Derivada de
em relação a : como esse termo depende só de , ao derivar em relação a ele é constante, logo contribui com . -
Derivada de
em relação a : veja que é produto de (depende de ) por (depende só de , logo é constante quando derivamos em ). Assim E. Portanto
Somando as contribuições:
Passo 5
Cálculo de
.
-
Derivada de
em relação a : esse termo não depende de , então a derivada parcial é . -
Derivada de
em relação a : aqui aplicamos a regra da cadeia. Seja . Então Calculando: . Logo (Que também pode ser escrito comoquando .) -
Derivada de
em relação a : agora ambos fatores dependem de , então usamos regra do produto: Calculando cada termo:
Substituindo:
Agrupando:
Somando as contribuições para
:
Passo 6
Resumo e observações finais rápidas (estilo amigo): já temos as duas parciais em forma explícita. Lembre que, na prova, é bom identificar termos que dependem só de
ou só de
para poupar trabalho (eles viram constantes na derivação parcial). Se quiser simplificar a
pode usar
e escrever o primeiro termo como
. Força aí — essas regras (cadeia e produto) são as que aparecem sempre nessas questões.