Questão 1. (6pts) Encontre \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} da função
f(x, y)=\ln \left[x^{2} \operatorname{sen}\left(y^{3}\right)\right]+e^{x y} \cos \left(y^{2}\right) .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\ln\!\left[x^{2}\operatorname{sen}\!\left(y^{3}\right)\right]+e^{xy}\cos\!\left(y^{2}\right)
e pede para encontrar as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é soma de dois termos: \ln\!\left[x^{2}\operatorname{sen}\!\left(y^{3}\right)\right] e e^{xy}\cos\!\left(y^{2}\right).
  • Para derivadas parciais, ao derivar em relação a x trata-se y como constante; ao derivar em relação a y trata-se x como constante.
  • Assumir que os argumentos do log e das funções trigonométricas estão em domínio onde as derivadas existem (por exemplo \operatorname{sen}(y^3)\neq0 quando for dividir por ele).

Passo 2

Primeira simplificação útil (propriedade do log): usar \ln(ab)=\ln a+\ln b. Assim
\ln\!\left[x^{2}\operatorname{sen}\!\left(y^{3}\right)\right]=\ln\!\left(x^{2}\right)+\ln\!\bigl(\operatorname{sen}(y^{3})\bigr).
Portanto podemos escrever
f(x,y)=\ln\!\left(x^{2}\right)+\ln\!\bigl(\operatorname{sen}(y^{3})\bigr)+e^{xy}\cos\!\left(y^{2}\right).

Passo 3

Relembrando regras que vamos usar (em linguagem simples):
  • Derivada do log composto: se g(u)=\ln(u) então g'(u)=\dfrac{u'}{u}. Ou seja, \dfrac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
  • Regra da cadeia: se temos h(x)=G(U(x)), então h'(x)=G'(U(x))\cdot U'(x).
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u'\,v+u\,v'.
  • Para derivada parcial em relação a x: trate y como constante; em relação a y: trate x como constante.
Vou aplicar essas regras passo a passo para cada parcial.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Derivada de \ln(x^{2}) em relação a x:
    \frac{d}{dx}\ln(x^{2})=\frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=\frac{1}{x^{2}}\cdot 2x=\frac{2}{x}.
    (Aqui usei a regra da cadeia: u(x)=x^{2}, u'(x)=2x.)
  • Derivada de \ln\!\bigl(\operatorname{sen}(y^{3})\bigr) em relação a x: como esse termo depende só de y, ao derivar em relação a x ele é constante, logo contribui com 0.
  • Derivada de e^{xy}\cos(y^{2}) em relação a x: veja que é produto de e^{xy} (depende de x) por \cos(y^{2}) (depende só de y, logo é constante quando derivamos em x). Assim
    \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{xy}\cos(y^{2})\bigr) =\cos(y^{2})\cdot\frac{\partial}{\partial x}e^{xy}.
    E \dfrac{\partial}{\partial x}e^{xy}=e^{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=e^{xy}\cdot y. Portanto
    \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{xy}\cos(y^{2})\bigr)=y\,e^{xy}\cos(y^{2}).
Somando as contribuições:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2}{x}+y\,e^{xy}\cos\!\left(y^{2}\right).

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Derivada de \ln(x^{2}) em relação a y: esse termo não depende de y, então a derivada parcial é 0.
  • Derivada de \ln\!\bigl(\operatorname{sen}(y^{3})\bigr) em relação a y: aqui aplicamos a regra da cadeia. Seja u(y)=\operatorname{sen}(y^{3}). Então
    \frac{d}{dy}\ln(u(y))=\frac{u'(y)}{u(y)}.
    Calculando u'(y): \dfrac{d}{dy}\operatorname{sen}(y^{3})=\cos(y^{3})\cdot\frac{d}{dy}(y^{3})=\cos(y^{3})\cdot 3y^{2}. Logo
    \frac{\partial}{\partial y}\ln\!\bigl(\operatorname{sen}(y^{3})\bigr)=\frac{3y^{2}\cos(y^{3})}{\operatorname{sen}(y^{3})}.
    (Que também pode ser escrito como 3y^{2}\cot(y^{3}) quando \operatorname{sen}(y^{3})\neq0.)
  • Derivada de e^{xy}\cos(y^{2}) em relação a y: agora ambos fatores dependem de y, então usamos regra do produto:
    \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\cos(y^{2})\bigr) =\frac{\partial}{\partial y}e^{xy}\cdot\cos(y^{2})+e^{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\cos(y^{2}).
    Calculando cada termo:
    \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=e^{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=e^{xy}\cdot x,
\frac{\partial}{\partial y}\cos(y^{2})=-\sin(y^{2})\cdot\frac{d}{dy}(y^{2})=-2y\sin(y^{2}).
Substituindo:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\cos(y^{2})\bigr)=x e^{xy}\cos(y^{2})+e^{xy}\bigl(-2y\sin(y^{2})\bigr).
Agrupando:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\cos(y^{2})\bigr)=e^{xy}\bigl(x\cos(y^{2})-2y\sin(y^{2})\bigr).
Somando as contribuições para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{3y^{2}\cos(y^{3})}{\operatorname{sen}(y^{3})}+e^{xy}\bigl(x\cos(y^{2})-2y\sin(y^{2})\bigr).

Passo 6

Resumo e observações finais rápidas (estilo amigo): já temos as duas parciais em forma explícita. Lembre que, na prova, é bom identificar termos que dependem só de x ou só de y para poupar trabalho (eles viram constantes na derivação parcial). Se quiser simplificar a \dfrac{\partial f}{\partial y} pode usar \cot e escrever o primeiro termo como 3y^{2}\cot(y^{3}). Força aí — essas regras (cadeia e produto) são as que aparecem sempre nessas questões.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2}{x}+y\,e^{xy}\cos\!\left(y^{2}\right)
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{3y^{2}\cos(y^{3})}{\operatorname{sen}(y^{3})}+e^{xy}\bigl(x\cos(y^{2})-2y\sin(y^{2})\bigr)

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