7.27 Para o estado plano de tensão mostrado, determine o maior valor de \sigma_{y} para o qual a tensão de cisalhamento máxima no plano das tensões é igual ou menor que 75 MPa .
Passo 1
O enunciado pede: determinar o maior valor de \sigma_{y} tal que a tensão de cisalhamento máxima no plano das tensões seja menor ou igual a 75\\ \text{MPa}.\n
Informações dadas (peguei os valores diretamente da figura):\n
A tensão normal na direção x é \sigma_{x}=20\\ \text{MPa}.\n
A tensão de cisalhamento no elemento é \tau_{xy}=60\\ \text{MPa}.\n
Queremos o maior \sigma_{y} que satisfaça \tau_{\max}\le 75\\ \text{MPa}.
Passo 2
Apresento a fórmula usada e explico de onde vem, devagar e sem pulo de etapas.\n
Para um estado plano de tensões com componentes \sigma_{x}, \sigma_{y} e \tau_{xy}, as tensões transformadas em um plano girado formam a chamada transformação de tensões. As equações de transformação (resumidas) são:
onde \theta é o ângulo de rotação do plano (variando \theta obtemos as tensões em qualquer plano do elemento).\n
A tensão de cisalhamento máxima em módulo, considerando todos os planos possíveis, é o máximo valor de |\tau_n| quando variamos \theta. A expressão fechada para esse valor (resultado clássico obtido ao maximizar |\tau_n| ou ao construir o círculo de Mohr) é:
\sigma_x e \sigma_y são as tensões normais nas direções x e y respectivamente (unidades em MPa aqui);\n
\tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no elemento (MPa);\n
o termo \dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2} representa a “metade da diferença” entre as tensões normais e aparece porque a assimetria entre \sigma_x e \sigma_y contribui para a cisalhamento máximo; a outra contribuição vem diretamente de \tau_{xy}.\n
Portanto, para controlar \tau_{\max} usamos essa fórmula.
Passo 3
Aplicando a condição pedida: queremos \tau_{\max}\le 75\\ \text{MPa}. Substituindo a fórmula:
Resolvo a desigualdade para \sigma_y. Primeiro multiplico por 2:
|20-\sigma_y| \le 90.
Isto significa que 20-\sigma_y deve ficar entre -90 e 90:
-90 \le 20-\sigma_y \le 90.
Agora isolando \sigma_y (multiplicando por -1 e invertendo desigualdades ou reordenando):
Para o limite inferior: 20-\sigma_y \ge -90 \Rightarrow -\sigma_y \ge -110 \Rightarrow \sigma_y \le 110.
Para o limite superior: 20-\sigma_y \le 90 \Rightarrow -\sigma_y \le 70 \Rightarrow \sigma_y \ge -70.
Juntando:
-70 \le \sigma_y \le 110.
Passo 6
Interpretando: qualquer valor de \sigma_y dentro do intervalo [-70,\\\ 110]\\ \text{MPa} mantém \tau_{\max}\le 75\\ \text{MPa}. A pergunta pede o maior valor possível de \sigma_y sob essa condição, portanto escolhemos o extremo superior do intervalo.