7.27 Para o estado plano de tensão mostrado, determine o maior valor de \sigma_{y} para o qual a tensão de cisalhamento máxima no plano das tensões é igual ou menor que 75 MPa .

Passo 1

O enunciado pede: determinar o maior valor de \sigma_{y} tal que a tensão de cisalhamento máxima no plano das tensões seja menor ou igual a 75\\ \text{MPa}.\n
Informações dadas (peguei os valores diretamente da figura):\n
  • A tensão normal na direção x é \sigma_{x}=20\\ \text{MPa}.\n
  • A tensão de cisalhamento no elemento é \tau_{xy}=60\\ \text{MPa}.\n
  • Queremos o maior \sigma_{y} que satisfaça \tau_{\max}\le 75\\ \text{MPa}.

Passo 2

Apresento a fórmula usada e explico de onde vem, devagar e sem pulo de etapas.\n
Para um estado plano de tensões com componentes \sigma_{x}, \sigma_{y} e \tau_{xy}, as tensões transformadas em um plano girado formam a chamada transformação de tensões. As equações de transformação (resumidas) são:
\sigma_n = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta + \tau_{xy}\sin 2\theta,
\tau_n = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta,
onde \theta é o ângulo de rotação do plano (variando \theta obtemos as tensões em qualquer plano do elemento).\n
A tensão de cisalhamento máxima em módulo, considerando todos os planos possíveis, é o máximo valor de |\tau_n| quando variamos \theta. A expressão fechada para esse valor (resultado clássico obtido ao maximizar |\tau_n| ou ao construir o círculo de Mohr) é:
\tau_{\max} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2} + \tau_{xy}^{2}}.
Explicando cada termo:\n
  • \sigma_x e \sigma_y são as tensões normais nas direções x e y respectivamente (unidades em MPa aqui);\n
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no elemento (MPa);\n
  • o termo \dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2} representa a “metade da diferença” entre as tensões normais e aparece porque a assimetria entre \sigma_x e \sigma_y contribui para a cisalhamento máximo; a outra contribuição vem diretamente de \tau_{xy}.\n
    Portanto, para controlar \tau_{\max} usamos essa fórmula.

Passo 3

Aplicando a condição pedida: queremos \tau_{\max}\le 75\\ \text{MPa}. Substituindo a fórmula:
\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2} + \tau_{xy}^{2}} \le 75.
Elevando ao quadrado (sempre verificar que os lados são não-negativos; aqui são), obtemos:
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{2} + \tau_{xy}^{2} \le 75^{2}.

Passo 4

Substituo os valores conhecidos \sigma_x=20\\ \text{MPa} e \tau_{xy}=60\\ \text{MPa} (novamente: peguei esses valores da figura) na inequação:
\left(\frac{20-\sigma_y}{2}\right)^{2} + 60^{2} \le 75^{2}.
Calculo 75^{2} e 60^{2}:
75^{2}=5625,\qquad 60^{2}=3600.
Subtraindo 60^{2} de 75^{2}:
\left(\frac{20-\sigma_y}{2}\right)^{2} \le 5625-3600 = 2025.
Como 2025=45^{2}, temos:
\left|\frac{20-\sigma_y}{2}\right| \le 45.

Passo 5

Resolvo a desigualdade para \sigma_y. Primeiro multiplico por 2:
|20-\sigma_y| \le 90.
Isto significa que 20-\sigma_y deve ficar entre -90 e 90:
-90 \le 20-\sigma_y \le 90.
Agora isolando \sigma_y (multiplicando por -1 e invertendo desigualdades ou reordenando):
Para o limite inferior: 20-\sigma_y \ge -90 \Rightarrow -\sigma_y \ge -110 \Rightarrow \sigma_y \le 110.
Para o limite superior: 20-\sigma_y \le 90 \Rightarrow -\sigma_y \le 70 \Rightarrow \sigma_y \ge -70.
Juntando:
-70 \le \sigma_y \le 110.

Passo 6

Interpretando: qualquer valor de \sigma_y dentro do intervalo [-70,\\\ 110]\\ \text{MPa} mantém \tau_{\max}\le 75\\ \text{MPa}. A pergunta pede o maior valor possível de \sigma_y sob essa condição, portanto escolhemos o extremo superior do intervalo.

Resposta

110\\ \text{MPa}

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