Para o estado plano de tensão indicado, determine o valor de τ_{x y} para o qual a tensão de cisalhamento máxima é
78 MPa

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de \tau_{xy} tal que a tensão de cisalhamento máxima seja 78\\ \text{MPa}.
Informações dadas (retirei da figura): \sigma_x = 100\\ \text{MPa} (tensão normal na direção x), \sigma_y = 40\\ \text{MPa} (tensão normal na direção y), e \tau_{max} = 78\\ \text{MPa} (tensão de cisalhamento máxima desejada).
Não há outros dados escondidos na figura; a incógnita é \tau_{xy}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): para um estado plano de tensão, representamos as tensões no plano xy. A representação gráfica que encapsula todas as combinações de tensões normais e de cisalhamento é o círculo de Mohr. Nesse contexto, a tensão de cisalhamento máxima absoluta no plano (isto é, o maior valor de cisalhamento que aparece em qualquer plano que passe pelo ponto) é o raio do círculo de Mohr. A fórmula do raio (portanto da máxima tensão de cisalhamento) é
\tau_{\max}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
Aqui:
  • \sigma_x e \sigma_y são as tensões normais nas direções x e y;
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no sistema original;
  • \tau_{\max} é o raio do círculo de Mohr (maior cisalhamento absoluto).
    Essa fórmula vem da geometria do círculo de Mohr: o centro do círculo é \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} e a metade da diferença \dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2} é uma componente horizontal do raio; a componente vertical é \tau_{xy}; aplicando Pitágoras obtemos o raio.

Passo 3

Isolamos \tau_{xy} na fórmula porque é o que queremos:
\tau_{xy}=\pm\sqrt{\tau_{\max}^2-\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2}.
Observação: o sinal \pm aparece porque a equação original envolve \tau_{xy}^2; portanto há duas soluções simétricas (uma positiva e outra negativa). O resultado físico normalmente é interpretado pela convenção de sinais da figura, mas o enunciado pede o valor de \tau_{xy} que dá essa magnitude de cisalhamento máximo — então podemos fornecer o módulo e as duas possibilidades de sinal.

Passo 4

Substituímos os valores numéricos passo a passo:
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{100-40}{2}=\frac{60}{2}=30\\ \text{MPa}.
\tau_{\max}^2=78^2=6084\\ (\text{MPa}^2).
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2=30^2=900\\ (\text{MPa}^2).
\tau_{xy}=\pm\sqrt{6084-900}=\pm\sqrt{5184}=\pm72\\ \text{MPa}.

Passo 5

Interpretação final e dica prática para prova: o módulo de \tau_{xy} necessário é 72\\ \text{MPa}. Se o problema pedir o sinal, escolha o sinal consistente com a convenção de sinais adotada na figura (no caso da figura, se a seta mostrada corresponde à convenção positiva, então adote +72\\ \text{MPa}; caso contrário, -72\\ \text{MPa}). Na maioria das questões de prova o que importa é o valor absoluto do cisalhamento, então apresentar 72\\ \text{MPa} como magnitude é suficiente.

Resposta

\tau_{xy}=\pm72\\ \text{MPa}

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