Para o estado plano de tensão indicado, determine o valor de
para o qual a tensão de cisalhamento máxima é
78 MPa
78 MPa
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
tal que a tensão de cisalhamento máxima seja
.
Informações dadas (retirei da figura): (tensão normal na direção
),
(tensão normal na direção
), e
(tensão de cisalhamento máxima desejada).
Não há outros dados escondidos na figura; a incógnita é .
Informações dadas (retirei da figura):
Não há outros dados escondidos na figura; a incógnita é
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): para um estado plano de tensão, representamos as tensões no plano
. A representação gráfica que encapsula todas as combinações de tensões normais e de cisalhamento é o círculo de Mohr. Nesse contexto, a tensão de cisalhamento máxima absoluta no plano (isto é, o maior valor de cisalhamento que aparece em qualquer plano que passe pelo ponto) é o raio do círculo de Mohr. A fórmula do raio (portanto da máxima tensão de cisalhamento) é
Aqui:
-
e são as tensões normais nas direções e ; -
é a tensão de cisalhamento no sistema original; -
é o raio do círculo de Mohr (maior cisalhamento absoluto).
Essa fórmula vem da geometria do círculo de Mohr: o centro do círculo ée a metade da diferença é uma componente horizontal do raio; a componente vertical é ; aplicando Pitágoras obtemos o raio.
Passo 3
Isolamos
na fórmula porque é o que queremos:
Observação: o sinal
aparece porque a equação original envolve
; portanto há duas soluções simétricas (uma positiva e outra negativa). O resultado físico normalmente é interpretado pela convenção de sinais da figura, mas o enunciado pede o valor de
que dá essa magnitude de cisalhamento máximo — então podemos fornecer o módulo e as duas possibilidades de sinal.
Passo 4
Substituímos os valores numéricos passo a passo:
Passo 5
Interpretação final e dica prática para prova: o módulo de
necessário é
. Se o problema pedir o sinal, escolha o sinal consistente com a convenção de sinais adotada na figura (no caso da figura, se a seta mostrada corresponde à convenção positiva, então adote
; caso contrário,
). Na maioria das questões de prova o que importa é o valor absoluto do cisalhamento, então apresentar
como magnitude é suficiente.