{ }^{27)} Uma fonte de tensão \mathrm{V}=25 / 180^{\circ} é ligada a um circuito em série, constituído de R fixo e X_{L} variável. Colocada a reatância em um valor arbitrário, a corrente é I=11,15 / 153,4^{\prime}. Entåo. X_{l} é ajustada de modo a tornar a corrente atrasada de 60^{\circ} em relação à tensáo. Nessa segunda hipótese, qual é o valor eficaz da corrente?
Resp.: 6.25 ampères.

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a fonte de tensão é a fasor \mathrm{V}=25\angle180^\circ.
  • Dado: com um valor qualquer de X_L a corrente observada é \mathrm{I}_1=11,15\angle153,4^\circ.
  • Informação extra: o circuito é série com R fixo e X_L variável (logo Z=R+jX_L).
  • Pedido: ajustar X_L de modo que a corrente fique atrasada de 60^\circ em relação à tensão; na segunda hipótese, calcular o valor eficaz da corrente (ou seja, a magnitude de \mathrm{I}_2).
Observação importante (apenas identificação do que foi dado): todos os números acima vêm do enunciado.

Passo 2

Entender a relação entre tensão, corrente e impedância em regime senoidal (fasores) e extrair R a partir dos dados iniciais.
  • Conceito: para fasores vale a lei de Ohm complexa \mathrm{V}=\mathrm{I}\,Z, onde Z é a impedância complexa do circuito série. Assim
Z=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{I}}.
Ao dividir fasores, divide-se as magnitudes e subtraem-se os ângulos:
|Z|=\frac{|\mathrm{V}|}{|\mathrm{I}|},\qquad \angle Z=\angle\mathrm{V}-\angle\mathrm{I}.
  • Aplicando aos valores dados:
|Z_1|=\frac{25}{11,15}\approx2,242, \qquad \angle Z_1=180^\circ-153,4^\circ=26,6^\circ.
  • Explicação: a impedância em forma rectangular é Z=R+jX_L. Para passar de forma polar para rectangular usa-se
R=|Z|\cos(\angle Z),\qquad X_L=|Z|\sin(\angle Z).
Isto vem da representação Z=|Z|(\cos\theta+j\sin\theta).
  • Calculando R e o X_{L} inicial (usado só para achar R, que é fixo):
R=2,242\cos(26,6^\circ)\approx2,242\cdot0,8944\approx2,00,
X_{L1}=2,242\sin(26,6^\circ)\approx2,242\cdot0,4477\approx1,00.
  • Comentário didático: devido a arredondamentos obtemos R\approx2{,}00\\ \Omega e X_{L1}\approx1{,}00\\ \Omega. O importante aqui é perceber que R é aproximadamente 2\\ \Omega (e é o valor que não muda quando ajustamos X_L).

Passo 3

Determinar a impedância desejada quando a corrente passa a atrasar 60^\circ em relação à tensão.
  • Conceito: se a corrente atrasa a tensão de 60^\circ, então \angle\mathrm{I}_2=\angle\mathrm{V}-60^\circ. Como \mathrm{V}=\mathrm{I}_2 Z_2, o ângulo de Z_2 é
\angle Z_2=\angle\mathrm{V}-\angle\mathrm{I}_2=60^\circ.
Ou seja, a impedância desejada deve ter argumento (ângulo) 60^\circ.
  • Convertendo isso para relação entre R e X_{L2}: para uma impedância Z_2=R+jX_{L2} vale
\tan(\angle Z_2)=\frac{X_{L2}}{R}.
Com \angle Z_2=60^\circ temos
\frac{X_{L2}}{R}=\tan 60^\circ=\sqrt{3}.
  • Como já obtivemos R\approx2{,}00\\ \Omega, segue
X_{L2}=R\sqrt{3}\approx2{,}00\cdot\sqrt{3}\approx3{,}464\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a magnitude da nova impedância e, então, a nova corrente eficaz.
  • Magnitude da impedância Z_2:
|Z_2|=\sqrt{R^2+X_{L2}^2}=R\sqrt{1+(\sqrt{3})^2}=R\sqrt{1+3}=R\cdot2.
Com R\approx2{,}00\\ \Omega obtemos
|Z_2|=2\cdot R\approx2\cdot2{,}00=4{,}00\\ \Omega.
  • A magnitude da corrente \mathrm{I}_2 é dada por dividir a magnitude da tensão pela magnitude da impedância:
|\mathrm{I}_2|=\frac{|\mathrm{V}|}{|Z_2|}=\frac{25}{4{,}00}=6{,}25\\ \text{A}.
  • Interpretação prática: ao aumentar a reatância indutiva até que a impedância total tenha ângulo 60^\circ, a impedância aumenta (neste caso para 4\\ \Omega) e a corrente reduz-se para 6{,}25\\ \text{A}, e o fásor corrente fica com ângulo \angle\mathrm{I}_2=180^\circ-60^\circ=120^\circ (atrasada de 60^\circ).

Resposta

6,25\\ \text{A}

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