A tensão aplicada a três ramos em paralelo, em cada um dos quais existe um elemento puro é v(t)=200 sen200t Volts. Os ramos contém, respectivamente, \mathrm{R}=300 \Omega, \mathrm{~L}=0,5 \mathrm{H} e \mathrm{C}=10 \mu \mathrm{~F}. Achar a corrente total, o ângulo entre a corrente total e a tensão aplicada e o módulo da impedância.

Passo 1

Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Tensão aplicada: v(t)=200\sin(200t) volts.
  • Ramo 1: resistor \,R=300\\ \Omega.
  • Ramo 2: indutor \,L=0,5\\ \mathrm{H}.
  • Ramo 3: capacitor \,C=10\\ \mu\mathrm{F}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
O enunciado pede:
  1. A corrente total (ou seja, a corrente resultante dos três ramos).
  2. O ângulo entre a corrente total e a tensão aplicada (fase da corrente em relação à tensão).
  3. O módulo da impedância equivalente vista pela fonte.

Passo 2

Identificar a frequência angular e as reatâncias dos elementos — fórmulas e significado:
  • A tensão está escrita como \,v(t)=200\sin(200t). Nessa forma, o termo 200 que multiplica t é a frequência angular \omega. Então
\omega=200\\ \text{rad/s}.
  • Reatância do indutor: \,X_L=\omega L. Aqui X_L tem unidades de ohms e representa a “resistência” ôhmica ao fluxo de corrente variável do indutor.
  • Reatância do capacitor: \,X_C=\dfrac{1}{\omega C}. Também em ohms; quanto maior \omega ou C, menor é X_C.
Calcular numericamente:
X_L=\omega L=200\cdot0,5=100\\ \Omega.
X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{200\cdot 10\times10^{-6}}=\frac{1}{0,002}=500\\ \Omega.

Passo 3

Fasores e correntes de cada ramo — fórmulas usadas e interpretação:
  • Representamos a tensão como fasor de amplitude (referência): \,V=200\angle0^\circ (uso amplitude; ângulo zero porque a senóide é \sin(200t) referenciada).
  • Corrente no resistor (em fase com a tensão):
I_R=\frac{V}{R}.
  • Corrente no indutor (fase de corrente atrasada de 90^\circ em relação à tensão): em termos de impedância Z_L=jX_L, logo
I_L=\frac{V}{jX_L}=\frac{V}{j\omega L}.
  • Corrente no capacitor (corrente adiantada de 90^\circ): impedância Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}=-jX_C, mas a forma direta útil é
I_C=j\omega C\,V.
Explicando o que é cada símbolo:
  • V é amplitude do fasor de tensão (volts).
  • I_R,I_L,I_C são os fasores (amplitude e fase) das correntes nos ramos (amperes).
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1), usada em análise fasorial para representar defasagens de 90^\circ.

Passo 4

Calcular cada corrente numericamente (usar os valores de X_L e X_C encontrados):
  • Resistor:
I_R=\frac{200}{300}=\frac{2}{3}\approx0,6666667\\ \text{A}\quad\text{(ângulo }0^\circ\text{)}.â
Em notação fasorial: \,I_R=0,6666667\angle0^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Indutor:
I_L=\frac{V}{jX_L}=\frac{200}{j\cdot100}=\frac{200}{100}\cdot\frac{1}{j}=2\cdot(-j)=-j2\\ \mathrm{A}.
Isto é \,I_L=2\angle-90^\circ\\ \mathrm{A} (módulo 2\\ \mathrm{A}, defasagem -90^\circ, corrente atrasa a tensão).
  • Capacitor:
I_C=j\omega C\,V=j\cdot200\cdot10\times10^{-6}\cdot200=j\cdot0,4=j0,4\\ \mathrm{A}.
Isto é \,I_C=0,4\angle+90^\circ\\ \mathrm{A} (módulo 0,4\\ \mathrm{A}, defasagem +90^\circ, corrente adianta a tensão).

Passo 5

Somar fasorialmente as correntes (adicionar parte real com real e imaginária com imaginária):
  • Escrevendo cada corrente em forma retangular (parte real + j·parte imaginária):
I_R=0,6666667+ j0, \qquad I_L=0 - j2, \qquad I_C=0 + j0,4.
  • Soma:
I_{tot}=I_R+I_L+I_C=(0,6666667)+j(0-2+0,4)=0,6666667 - j1,6\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Encontrar módulo e ângulo da corrente total — fórmulas:
  • Módulo: \displaystyle |I_{tot}|=\sqrt{(\Re\{I_{tot}\})^2+(\Im\{I_{tot}\})^2}.
  • Fase (em relação à tensão): \displaystyle \varphi=\arctan\!\left(\frac{\Im\{I_{tot}\}}{\Re\{I_{tot}\}}\right). (atenção ao quadrante; aqui a parte real é positiva e a imaginária negativa, logo ângulo negativo).
Calcular numericamente:
|I_{tot}|=\sqrt{(0,6666667)^2+(-1,6)^2}=\sqrt{0,4444444+2,56}=\sqrt{3,0044444}\approx1,733\\ \mathrm{A}.
\varphi=\arctan\!\left(\frac{-1,6}{0,6666667}\right)=\arctan(-2,4)\approx-67,38^\circ\approx-1,177\\ \text{rad}.
Interpretação: o ângulo negativo significa que a corrente total atrasa a tensão (circuito com comportamento indutivo líquido).

Passo 7

Calcular o módulo da impedância equivalente vista pela fonte:
  • Relação entre fasores: \,Z_{eq}=\dfrac{V}{I_{tot}}. Para módulos, \,|Z_{eq}|=\dfrac{|V|}{|I_{tot}|}.
  • Usando |V|=200\\ \mathrm{V} (amplitude) e |I_{tot}|\approx1,733\\ \mathrm{A}:
|Z_{eq}|=\frac{200}{1,733}\approx115,5\\ \Omega.
Ângulo da impedância é \angle Z_{eq}=0^\circ-\varphi=+67,38^\circ (confirmando comportamento indutivo).

Passo 8

Escrever a corrente total no domínio do tempo (forma solicitada habitualmente em provas):
  • A corrente total no tempo, usando amplitude e fase obtidas, é
i_{tot}(t)=1,733\sin\bigl(200t-67,38^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}.

Resposta

i_{tot}(t)=1,733\sin\bigl(200t-67,38^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}
\varphi=-67,38^\circ (a corrente total atrasa a tensão)
|Z_{eq}|=115,5\\ \Omega

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