Três impedâncias \mathbf{Z}_{1}=5+j, Z_{2}=-j 4 e \mathbf{Z}_{3}=4 sâo ligadas em série a uma fonte de tensáo desconhecida \mathbf{V}. Determinar \mathbf{I} e \mathbf{V}, sendo 63,2 / 18,45^{\circ} volts a queda de tensão em \mathbf{Z}_{3}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Impedâncias em série:
    • \mathbf{Z}_{1}=5+j
    • \mathbf{Z}_{2}=-j\,4
    • \mathbf{Z}_{3}=4
  • A queda de tensão em \mathbf{Z}_{3} é \;63{,}2\angle18{,}45^\circ\\ \text{V}.
O que é pedido:
  • Determinar a corrente de circuito \mathbf{I}.
  • Determinar a tensão da fonte \mathbf{V}.

Passo 2

Como as impedâncias estão em série, a mesma corrente \mathbf{I} passa por todas elas. A relação entre a tensão em \mathbf{Z}_{3} e a corrente é
\mathbf{V}_{3}=\mathbf{I}\,\mathbf{Z}_{3}.
Portanto
\mathbf{I}=\dfrac{\mathbf{V}_{3}}{\mathbf{Z}_{3}}.
Explicando a divisão em forma fasorial: divide-se as magnitudes e subtrai-se os ângulos.

Passo 3

Calculemos \mathbf{I} usando \mathbf{V}_{3}=63{,}2\angle18{,}45^\circ\\ \text{V} e \mathbf{Z}_{3}=4:
\mathbf{I}=\dfrac{63{,}2\angle18{,}45^\circ}{4}=15{,}8\angle18{,}45^\circ\\ \text{A}.
Para obter a forma retangular, converte-se o fasor polar para retangular:
15{,}8\angle18{,}45^\circ \approx 15{,}0 + j\,5{,}0\\ \text{A}.
(Observação: o arredondamento usado no enunciado faz com que a forma retangular apareça como 15 + j5 com boa precisão.)

Passo 4

Agora calculamos a impedância total em série:
\mathbf{Z}_{\text{tot}}=\mathbf{Z}_{1}+\mathbf{Z}_{2}+\mathbf{Z}_{3}=(5+j)+(-j4)+4=(5+4)+j(1-4)=9 - j3.
A tensão da fonte é
\mathbf{V}=\mathbf{I}\,\mathbf{Z}_{\text{tot}}.
Para multiplicar, use a forma retangular de \mathbf{I} (mais direta aqui):
\mathbf{I}=15 + j5,\qquad \mathbf{Z}_{\text{tot}}=9 - j3.
Multiplicando termo a termo:
\mathbf{V}=(15+j5)(9-j3)=15\cdot9 + 15(-j3) + j5\cdot9 + j5(-j3).
Calcule cada termo:
15\cdot9=135,\qquad 15(-j3)=-j45,\qquad j5\cdot9=j45,\qquad j5(-j3)=-j^2 15=+15.
Somando:
\mathbf{V}=135+15 +(-j45+j45)=150 + j0 = 150\\ \text{V}.
Em forma fasorial: \mathbf{V}=150\angle0^\circ\\ \text{V}.

Passo 5

Breve verificação (opcional, mas útil): a soma das quedas \mathbf{V}_1+\mathbf{V}_2+\mathbf{V}_3 deve dar \mathbf{V}. Como \mathbf{V}_3 foi dado e \mathbf{I} calculado, os produtos \mathbf{I}\mathbf{Z}_1 e \mathbf{I}\mathbf{Z}_2 somam com \mathbf{V}_3 e retornam 150\\ \text{V}, confirmando consistência.

Resposta

\mathbf{I}=15{,}8\angle18{,}45^\circ\\ \text{A}=15{,}0 + j\,5{,}0\\ \text{A}
\mathbf{V}=150\angle0^\circ\\ \text{V}=150\\ \text{V}

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