27-(UFPE-2016) Ondas eletromagnéticas
a) Escreva as equações de Maxwell na forma diferencial para os campos
e
para um meio condutor linear, homogêneo e isotrópico, com permissividade elétrica
e permeabilidade magnética
. Suponha que neste meio náo há densidade volumétrica de cargas livres (
) e que existe uma densidade de corrente livre
.
b) Utilizando a lei de
, onde
é a condutividade elétrica, mostre que para o campo
devemos ter que
c) Para a equaão de onda do item (b), considere solução do tipo onda plana se propagando ao longo da direção
, ou seja,
Mostre que
é um número complexo, determinando as suas partes real e imaginária em termos de
,
e
.
d) No caso de um bom condutor (
), obtenha o comprimento de penetração (skin depth) do material, ou seja, a distância para a qual a amplitude da onda eletromagnética é reduzida por um fator de
. Sugestão: Escreva
na forma complexa
, onde
e
são reais.
a) Escreva as equações de Maxwell na forma diferencial para os campos
b) Utilizando a lei de
d) No caso de um bom condutor (
Passo 1
O enunciado faz quatro pedidos (a dividir em subitens):
- (a) Escrever as equações de Maxwell na forma diferencial para um meio linear, homogêneo e isotrópico com permissividade elétrica
e permeabilidade magnética , supondo densidade volumétrica de cargas livres e existindo densidade de corrente livre . - (b) Usando a lei de Ohm
, mostrar que o campo elétrico satisfaz a equação
- (c) Para solução do tipo onda plana
, mostrar que é complexo e determinar suas partes real e imaginária em termos de , , e . - (d) No caso de bom condutor (
), obter o comprimento de penetração (skin depth) — a distância para a qual a amplitude cai por fator . Sugestão: escrever .
Informações relevantes dadas:
- Meio linear, homogêneo, isotrópico
e são constantes escalares. - Não há carga livre volumétrica:
. - Há corrente livre
que satisfaz a lei de Ohm: . - Para (c)/(d) usamos ansatz de onda plana unidimensional ao longo do eixo
.
Passo 2
(a) Escrever as equações de Maxwell na forma diferencial e explicar cada termo.
Começo lembrando duas relações constitutivas do meio linear e isotrópico:
onde
é o deslocamento elétrico e
o campo magnético auxiliar. Aqui
e
são constantes do meio.
As equações de Maxwell em forma diferencial (com presença de corrente livre
e densidade de carga livre
) são:
Agora substituo as relações constitutivas e uso
:
- Gauss elétrica:
portanto, usando
e
constante,
- Gauss magnética:
- Lei de Faraday (indução):
- Lei de Ampère-Maxwell: com
,
Substituindo
,
Essas quatro expressões são as equações de Maxwell para o meio descrito:
Passo 3
(b) Derivar a equação de onda para
passo a passo, explicando as identidades usadas.
Objetivo: transformar as equações acima numa equação exclusiva para
.
- Tomamos o rotacional da equação de Faraday:
- Uso da identidade vetorial importante:
Explicando:
é o gradiente da divergência de
, e
é o laplaciano vetorial aplicado componente a componente. Essa identidade é padrão em cálculo vetorial e útil para transformar duplos rotares em termos mais manejáveis.
- Como vimos no Passo 2,
. Logo a identidade reduz-se a
- Substituindo na derivada temporal do rotacional de
:
Multiplicando por
,
- Substituo a expressão de
obtida na Ampère-Maxwell:
Logo
- Desenvolvendo a derivada temporal:
- Agora aplico a lei de Ohm para a corrente livre:
. Como é constante do meio (homogêneo), temos
- Substituindo isso em (6):
- Reorganizo para colocar tudo no lado esquerdo e obter exatamente a forma pedida:
Comentário didático rápido: essa é uma equação de onda com um termo de amortecimento proporcional a
. Quando
recuperamos a equação de onda usual para meios não condutores.
Passo 4
(c) Substituir a solução de onda plana e mostrar que
é complexo, identificando partes real e imaginária.
- Considere o ansatz unidimensional sugerido:
onde
é um vetor constante (amplitude),
é o número de onda (potencialmente complexo) e
é a frequência angular real. Explico os símbolos:
é a unidade imaginária e a dependência
é padrão para ondas harmônicas.
- Calculo das derivadas necessárias (aplicando derivação componente a componente, e lembrando que a exponencial permanece como fator comum):
- Substituo essas expressões na equação obtida no Passo 3:
- Simplificando (dividindo por
, assumindo ):
Portanto
- Conclusão:
é um número complexo. Separando a parte real e imaginária:
Observação: às vezes escreve-se
, o que deixa explícito o papel da condutividade no termo imaginário.
Passo 5
(d) Caso de bom condutor (
). Calcular
e o skin depth
.
- Em bom condutor o termo imaginário domina em
:
- Precisamos tirar a raiz quadrada complexa de
. Escrevo
Fato útil:
, pois
e
.
- Então
- Dessa forma os componentes real e imaginário de
são iguais:
- Interpretando a solução: com
e a forma da onda , a dependência espacial é . O fator produz a atenuação exponencial. O comprimento de penetração (skin depth) é a distância na qual a amplitude é reduzida por , ou seja
- Substituindo
obtido:
Comentário físico e de encorajamento: portanto, em bons condutores a onda não penetra muito (pequena
), e tanto a parte real quanto a imaginária de
crescem com
. Você já tem aqui a fórmula que aparece em muitos livros como expressão do skin depth.
Resposta
(a)
\n
\n
\n
\n
(b) \n
(c) ,
,
\n
(d) Para :
,
e
.
(b)
(c)
(d) Para