27-(UFPE-2016) Ondas eletromagnéticas
a) Escreva as equações de Maxwell na forma diferencial para os campos \vec{E} e \vec{B} para um meio condutor linear, homogêneo e isotrópico, com permissividade elétrica \varepsilon e permeabilidade magnética \mu. Suponha que neste meio náo há densidade volumétrica de cargas livres ( \rho_{l}=0 ) e que existe uma densidade de corrente livre \vec{J}_{l}.
b) Utilizando a lei de \mathrm{Ohm}, \vec{J}_{l}=\sigma \vec{E}, onde \sigma é a condutividade elétrica, mostre que para o campo \vec{E} devemos ter que
\vec{\nabla}^{2} \vec{E}-\mu \varepsilon \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}-\mu \sigma \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0
c) Para a equaão de onda do item (b), considere solução do tipo onda plana se propagando ao longo da direção x, ou seja,
\vec{E}(x, t)=\vec{E}_{o} e^{i(k x-w t)}
Mostre que k^{2} é um número complexo, determinando as suas partes real e imaginária em termos de \varepsilon, \mu, \sigma e w.
d) No caso de um bom condutor ( \sigma \gg w \varepsilon ), obtenha o comprimento de penetração (skin depth) do material, ou seja, a distância para a qual a amplitude da onda eletromagnética é reduzida por um fator de 1 / e. Sugestão: Escreva k na forma complexa k=k_{r}+i k_{i}, onde k_{r} e k_{i} são reais.

Passo 1

O enunciado faz quatro pedidos (a dividir em subitens):
  • (a) Escrever as equações de Maxwell na forma diferencial para um meio linear, homogêneo e isotrópico com permissividade elétrica \varepsilon e permeabilidade magnética \mu, supondo densidade volumétrica de cargas livres \rho_{l}=0 e existindo densidade de corrente livre \vec{J}_{l}.
  • (b) Usando a lei de Ohm \vec{J}_{l}=\sigma \vec{E}, mostrar que o campo elétrico satisfaz a equação
\vec{\nabla}^{2}\vec{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}-\mu\sigma\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0.
  • (c) Para solução do tipo onda plana \vec{E}(x,t)=\vec{E}_{0}e^{i(kx-\omega t)}, mostrar que k^{2} é complexo e determinar suas partes real e imaginária em termos de \varepsilon, \mu, \sigma e \omega.
  • (d) No caso de bom condutor ( \sigma\gg\omega\varepsilon), obter o comprimento de penetração (skin depth) — a distância para a qual a amplitude cai por fator 1/e. Sugestão: escrever k=k_{r}+i k_{i}.
Informações relevantes dadas:
  • Meio linear, homogêneo, isotrópico \Rightarrow \varepsilon e \mu são constantes escalares.
  • Não há carga livre volumétrica: \rho_{l}=0.
  • Há corrente livre \vec{J}_{l} que satisfaz a lei de Ohm: \vec{J}_{l}=\sigma\vec{E}.
  • Para (c)/(d) usamos ansatz de onda plana unidimensional ao longo do eixo x.

Passo 2

(a) Escrever as equações de Maxwell na forma diferencial e explicar cada termo.
Começo lembrando duas relações constitutivas do meio linear e isotrópico:
\vec{D}=\varepsilon\vec{E},\qquad \vec{B}=\mu\vec{H},
onde \vec{D} é o deslocamento elétrico e \vec{H} o campo magnético auxiliar. Aqui \varepsilon e \mu são constantes do meio.
As equações de Maxwell em forma diferencial (com presença de corrente livre \vec{J}_{l} e densidade de carga livre \rho_{l}) são:
\vec{\nabla}\cdot\vec{D}=\rho_{l},
\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0,
\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t},
\vec{\nabla}\times\vec{H}=\vec{J}_{l}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}.
Agora substituo as relações constitutivas e uso \rho_{l}=0:
  1. Gauss elétrica:
\vec{\nabla}\cdot\vec{D}=\rho_{l}=0
portanto, usando \vec{D}=\varepsilon\vec{E} e \varepsilon constante,
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0.
  1. Gauss magnética:
\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0.
  1. Lei de Faraday (indução):
\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
  1. Lei de Ampère-Maxwell: com \vec{B}=\mu\vec{H},
\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu\vec{\nabla}\times\vec{H}=\mu\vec{J}_{l}+\mu\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}.
Substituindo \vec{D}=\varepsilon\vec{E},
\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{l}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
Essas quatro expressões são as equações de Maxwell para o meio descrito:
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0,
\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0,
\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t},
\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{l}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.

Passo 3

(b) Derivar a equação de onda para \vec{E} passo a passo, explicando as identidades usadas.
Objetivo: transformar as equações acima numa equação exclusiva para \vec{E}.
  1. Tomamos o rotacional da equação de Faraday:
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{E})=-\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}\times\vec{B}).
  1. Uso da identidade vetorial importante:
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{E})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{E})-\vec{\nabla}^{2}\vec{E}.
Explicando: \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{E}) é o gradiente da divergência de \vec{E}, e \vec{\nabla}^{2}\vec{E} é o laplaciano vetorial aplicado componente a componente. Essa identidade é padrão em cálculo vetorial e útil para transformar duplos rotares em termos mais manejáveis.
  1. Como vimos no Passo 2, \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0. Logo a identidade reduz-se a
\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{E})=-\vec{\nabla}^{2}\vec{E}.
  1. Substituindo na derivada temporal do rotacional de \vec{B}:
-\vec{\nabla}^{2}\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}\times\vec{B}).
Multiplicando por -1,
\vec{\nabla}^{2}\vec{E}=\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla}\times\vec{B}).
  1. Substituo a expressão de \vec{\nabla}\times\vec{B} obtida na Ampère-Maxwell:
\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{l}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
Logo
\vec{\nabla}^{2}\vec{E}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\mu\vec{J}_{l}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}\right).
  1. Desenvolvendo a derivada temporal:
\vec{\nabla}^{2}\vec{E}=\mu\frac{\partial\vec{J}_{l}}{\partial t}+\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}.
  1. Agora aplico a lei de Ohm para a corrente livre: \vec{J}_{l}=\sigma\vec{E}. Como \sigma é constante do meio (homogêneo), temos
\frac{\partial\vec{J}_{l}}{\partial t}=\sigma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
  1. Substituindo isso em (6):
\vec{\nabla}^{2}\vec{E}=\mu\sigma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}+\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}.
  1. Reorganizo para colocar tudo no lado esquerdo e obter exatamente a forma pedida:
\vec{\nabla}^{2}\vec{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}-\mu\sigma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=0.
Comentário didático rápido: essa é uma equação de onda com um termo de amortecimento proporcional a \sigma. Quando \sigma=0 recuperamos a equação de onda usual para meios não condutores.

Passo 4

(c) Substituir a solução de onda plana e mostrar que k^{2} é complexo, identificando partes real e imaginária.
  1. Considere o ansatz unidimensional sugerido:
\vec{E}(x,t)=\vec{E}_{0}\,e^{i(kx-\omega t)},
onde \vec{E}_{0} é um vetor constante (amplitude), k é o número de onda (potencialmente complexo) e \omega é a frequência angular real. Explico os símbolos: i é a unidade imaginária e a dependência e^{i(kx-\omega t)} é padrão para ondas harmônicas.
  1. Calculo das derivadas necessárias (aplicando derivação componente a componente, e lembrando que a exponencial permanece como fator comum):
\vec{\nabla}^{2}\vec{E}=\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial x^{2}}=(ik)^{2}\vec{E}=-k^{2}\vec{E},
\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=(-i\omega)\vec{E},
\frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}=(-i\omega)^{2}\vec{E}=-\omega^{2}\vec{E}.
  1. Substituo essas expressões na equação obtida no Passo 3:
(-k^{2})\vec{E}-\mu\varepsilon(-\omega^{2})\vec{E}-\mu\sigma(-i\omega)\vec{E}=0.
  1. Simplificando (dividindo por \vec{E}, assumindo \vec{E}\neq\vec{0}):
-k^{2}+\mu\varepsilon\omega^{2}+i\mu\sigma\omega=0.
Portanto
k^{2}=\mu\varepsilon\omega^{2}+i\mu\sigma\omega.
  1. Conclusão: k^{2} é um número complexo. Separando a parte real e imaginária:
\Re(k^{2})=\mu\varepsilon\omega^{2},
\Im(k^{2})=\mu\sigma\omega.
Observação: às vezes escreve-se k^{2}=\mu\omega(\varepsilon\omega+i\sigma), o que deixa explícito o papel da condutividade no termo imaginário.

Passo 5

(d) Caso de bom condutor ( \sigma\gg\omega\varepsilon). Calcular k=k_{r}+ik_{i} e o skin depth \delta.
  1. Em bom condutor o termo imaginário domina em k^{2}:
k^{2}=\mu\varepsilon\omega^{2}+i\mu\sigma\omega\approx i\mu\sigma\omega.
  1. Precisamos tirar a raiz quadrada complexa de i\mu\sigma\omega. Escrevo
k=\sqrt{i\mu\sigma\omega}.
Fato útil: \sqrt{i}=\frac{1+i}{\sqrt{2}}, pois i=e^{i\pi/2} e \sqrt{i}=e^{i\pi/4}=(1+i)/\sqrt{2}.
  1. Então
k=\sqrt{\mu\sigma\omega}\,\sqrt{i}=\sqrt{\mu\sigma\omega}\,\frac{1+i}{\sqrt{2}}=(1+i)\sqrt{\frac{\mu\sigma\omega}{2}}.
  1. Dessa forma os componentes real e imaginário de k são iguais:
k_{r}=k_{i}=\sqrt{\frac{\mu\sigma\omega}{2}}.
  1. Interpretando a solução: com k=k_{r}+ik_{i} e a forma da onda e^{i(kx-\omega t)}, a dependência espacial é e^{i k_{r}x}e^{-k_{i}x}. O fator e^{-k_{i}x} produz a atenuação exponencial. O comprimento de penetração (skin depth) \delta é a distância na qual a amplitude é reduzida por 1/e, ou seja
\delta=\frac{1}{k_{i}}.
  1. Substituindo k_{i} obtido:
\delta=\sqrt{\frac{2}{\mu\sigma\omega}}.
Comentário físico e de encorajamento: portanto, em bons condutores a onda não penetra muito (pequena \delta), e tanto a parte real quanto a imaginária de k crescem com \sqrt{\sigma\omega}. Você já tem aqui a fórmula que aparece em muitos livros como expressão do skin depth.

Resposta

(a) \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0\n \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0\n \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}\n \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu\vec{J}_{l}+\mu\varepsilon\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}\n
(b) \vec{\nabla}^{2}\vec{E}-\mu\varepsilon\dfrac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}-\mu\sigma\dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t}=0\n
(c) k^{2}=\mu\varepsilon\omega^{2}+i\mu\sigma\omega, \Re(k^{2})=\mu\varepsilon\omega^{2}, \Im(k^{2})=\mu\sigma\omega\n
(d) Para \sigma\gg\omega\varepsilon: k=(1+i)\sqrt{\dfrac{\mu\sigma\omega}{2}}, k_{r}=k_{i}=\sqrt{\dfrac{\mu\sigma\omega}{2}} e \delta=\dfrac{1}{k_{i}}=\sqrt{\dfrac{2}{\mu\sigma\omega}}.

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