26-(UFPE-2016) Considere uma onda eletromagnética plana monocromática, de frequência w, propagando-se em um meio dielétrico de permissividade \varepsilon.
a) Mostre que a intensidade I da onda, definida como a potência média por unidade de área transportada pela onda, pode ser escrita como
I=\frac{1}{2} \varepsilon_{o} n c E_{o}^{2} .
onde c=1 / \sqrt{\varepsilon_{o} \mu_{o}} é a velocidade da luz no vácuo, n=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{o}}} é o índice de refração do meio e E_{o} a amplitude do campo elétrico da onda.
b) Considere agora o caso de uma onda monocromática propagando-se em um meio de índice de refração n_{1}, incidindo perpendicularmente em uma interface plana com um segundo meio, de índice de refração n_{2}.
Mostre que as intensidades das ondas refletida e transmitida (relativas à intensidade da onda incidente) são dadas respectivamente por
c) Suponha que o segundo meio é um material dielétrico com perdas, caracterizado por uma condutividade ôhmica \sigma e uma permissividade complexa \varepsilon_{2}=\varepsilon_{2}^{\prime}+i \sigma / w ou, alternativamente, por um índice de refração complexo n_{2}=\sqrt{\frac{1}{\varepsilon_{o}}\left(\varepsilon_{2}^{\prime}+i \sigma / w\right)}.
d) Analise as expressões acima para as intensidades das ondas refletida e transmitida no limite em que \sigma \rightarrow \infty. Discuta fisicamente o resultado obtido nesse regime.
Passo 1
O enunciado dá uma onda eletromagnética plana monocromática de frequência \omega propagando-se num meio dielétrico de permissividade \varepsilon. Em seguida pede partes separadas:
(a) Mostrar que a intensidade média I (potência média por unidade de área) pode ser escrita como
I=\frac{1}{2}\varepsilon_{0} n c E_{0}^{2},
onde c=1/\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}, n=\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}} e E_{0} é a amplitude do campo elétrico.
(b) Para uma onda em um meio com índice n_{1} incidindo normalmente numa interface com meio de índice n_{2}, mostrar que as intensidades relativa da refletida e da transmitida são
(c) Considerar que o segundo meio tem perdas e pode ser descrito por \varepsilon_{2}=\varepsilon_{2}^{\prime}+i \sigma/\omega ou, equivalentemente, por índice complexo n_{2}=\sqrt{\dfrac{1}{\varepsilon_{0}}\bigl(\varepsilon_{2}^{\prime}+i\sigma/\omega\bigr)}.
(d) Analisar o limite \sigma\to\infty das expressões de I_{r} e I_{t} e discutir fisicamente o resultado.
Listei as informações e as perguntas; agora vamos resolver passo a passo, explicando bem as fórmulas usadas.
Passo 2
(a) Vamos obter a expressão da intensidade média usando o vetor de Poynting e a relação entre campos num plano de onda. Conceitos principais (devagar, sem pular):
O vetor de Poynting instantâneo é \mathbf{S}(t)=\mathbf{E}(t)\times\mathbf{H}(t). A intensidade média (potência média por área) é a componente média no tempo do vetor de Poynting na direção de propagação: I=\langle S\rangle.
Para uma onda plana e monocromática com campos harmônicos (no tempo) podemos usar as amplitudes complexas e a fórmula da média temporal:
onde \mathbf{E}_{0} e \mathbf{H}_{0} são as amplitudes complexas dos campos.
Em um meio não magnético (\mu=\mu_{0}) e linear, a impedância intrínseca do meio é
\eta=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon}}.
A relação entre amplitudes de magnitude (para ondas planares) é
\frac{E_{0}}{H_{0}}=\eta.
Então H_{0}=E_{0}/\eta.
Expressar \eta em termos de n e constantes do vácuo. Como n=\sqrt{\varepsilon/\varepsilon_{0}} e \eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}}=\mu_{0}c, obtemos
que é exatamente a fórmula pedida. Pequeninha nota física: n entra porque o campo magnético depende do meio; para o mesmo E_{0} um meio com maior n transporta mais energia por unidade de área.
Passo 4
(b) Agora vamos achar as amplitudes de reflexão e transmissão (e então as intensidades). Estratégia: aplicar as condições de contorno em z=0 (incidência normal) e usar a relação entre E e H em cada meio.
Denotemos amplitudes (reais ou complexas) das ondas: incidente E_{i}=E_{0i}e^{i(k_{1}z-\omega t)}, refletida E_{r}=E_{0r}e^{i(-k_{1}z-\omega t)}, transmitida no segundo meio E_{t}=E_{0t}e^{i(k_{2}z-\omega t)}. Para incidência normal as direções são +z para incidente, -z para refletida, +z para transmitida.
Condições de contorno em z=0: continuidade da componente tangencial de \mathbf{E} e de \mathbf{H}. Para normal incidência as componentes a considerar reduzem-se a escalres:
E_{0i}+E_{0r}=E_{0t}.
Agora para \mathbf{H}: a magnitude do campo magnético em cada meio é H_{0}=\dfrac{n}{\mu_{0}c}E_{0} com sinal dependendo da direção de propagação. Para a componente tangencial em z=0 a condição dá
Resolver o sistema para as razões de amplitude. Façamos r\equiv E_{0r}/E_{0i} e t\equiv E_{0t}/E_{0i}.
Das equações:
1 + r = t,
n_{1}(1 - r) = n_{2} t.
Substituímos t=1+r na segunda:
n_{1}(1 - r)=n_{2}(1 + r).
Agrupando termos em r:
n_{1}-n_{1}r = n_{2} + n_{2}r
-(n_{1}+n_{2})r = n_{2}-n_{1}
r=\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}.
E t=1+r=\dfrac{2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}.
Essas são as amplitudes de campo refletido e transmitido.
Passo 6
Converter amplitudes em intensidades (parte (b)):
A intensidade média numa dada região é I=\dfrac{1}{2}\varepsilon_{0} n c |E_{0}|^{2} (derivada em (a)). Para a onda incidente e refletida ambas estão no meio 1 com o mesmo n_{1}. Assim a intensidade refletida relativa à incidente é
I_{r}\equiv\frac{I_{\text{ref}}}{I_{\text{inc}}}=\frac{\dfrac{1}{2}\varepsilon_{0} n_{1} c |E_{0r}|^{2}}{\dfrac{1}{2}\varepsilon_{0} n_{1} c |E_{0i}|^{2}}=\left|\frac{E_{0r}}{E_{0i}}\right|^{2}=|r|^{2}.
Como r é real quando n_{1},n_{2} são reais, temos a forma pedida:
Observação didática: n_{2} será, em geral, complexo: n_{2}=n_{2}' + i\kappa. O termo imaginário gera atenuação exponencial da amplitude dentro do meio (decaimento espacial), caracterizando a absorção/atenuação.
Passo 8
(d) Analisar o limite \sigma\to\infty. Primeiro, escrevemos as expressões de intensidade válidas para n_{2} complexo:
Para n_{2} complexo a razão de intensidade refletida continua sendo
porque I_{t}=(n_{2}/n_{1})|t|^{2} deve ser interpretado tomando a parte real de n_{2} para a potência transportada (a potência real transportada é proporcional a \operatorname{Re}(n)\,|E|^{2}). Então a forma prática é a que escrevi acima.
Agora o limite.
Passo 9
Calcular o comportamento de n_{2} quando \sigma\to\infty (via aproximação de bom condutor):
Para \sigma muito grande domina o termo i\sigma/\omega em \varepsilon_{2}, então
Ou seja, I_{r}\to 1. Fisicamente a amplitude refletida tende a mesma magnitude da incidente e pode adquirir uma defasagem próxima de \pi (sinal negativo aproximado), mas o módulo quadrado tende a 1.
Como |n_{2}|^{2} cresce como \sigma e \operatorname{Re}(n_{2}) cresce como \sqrt{\sigma}, o quociente tende a zero quando \sigma\to\infty. Portanto I_{t}\to 0.
Passo 11
Interpretação física e comentário final (tom de amigo): quando o condutor fica cada vez mais “bom” (condutividade muito alta), a onda eletromagnética praticamente não entra no material: quase toda a energia é refletida na superfície. O campo transmitido penetra apenas uma distância muito pequena chamada profundidade de penetração (skin depth). Para um bom condutor essa profundidade é
\delta=\sqrt{\frac{2}{\mu_{0}\omega\sigma}},
que tende a zero quando \sigma\to\infty. Assim a energia que “entra” é rapidamente convertida em perdas ôhmicas numa camada finíssima; na soma, do ponto de vista da potência incidente, o condutor perfeito se comporta como um refletor perfeito (I_{r}\to 1, I_{t}\to 0). Força e ânimo: é essa matemática que explica porque metais polidos refletem luz e por que campos não penetram profundamente em condutores bons.
(c) \varepsilon_{2}=\varepsilon_{2}^{\prime}+i\dfrac{\sigma}{\omega}\quad e \quad
n_{2}=\sqrt{\dfrac{1}{\varepsilon_{0}}\Bigl(\varepsilon_{2}^{\prime}+i\dfrac{\sigma}{\omega}\Bigr)}.
(d) No limite \sigma\to\infty: I_{r}\to 1 e I_{t}\to 0. Fisicamente, o material torna-se um refletor quase perfeito; a onda transmitida é atenuada numa camada muito fina (skin depth \delta=\sqrt{2/(\mu_{0}\omega\sigma)}\to 0) e quase nenhuma potência penetra no volume.