26-(UFPE-2016) Considere uma onda eletromagnética plana monocromática, de frequência w, propagando-se em um meio dielétrico de permissividade \varepsilon.
a) Mostre que a intensidade I da onda, definida como a potência média por unidade de área transportada pela onda, pode ser escrita como
I=\frac{1}{2} \varepsilon_{o} n c E_{o}^{2} .
onde c=1 / \sqrt{\varepsilon_{o} \mu_{o}} é a velocidade da luz no vácuo, n=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{o}}} é o índice de refração do meio e E_{o} a amplitude do campo elétrico da onda.
b) Considere agora o caso de uma onda monocromática propagando-se em um meio de índice de refração n_{1}, incidindo perpendicularmente em uma interface plana com um segundo meio, de índice de refração n_{2}.
Mostre que as intensidades das ondas refletida e transmitida (relativas à intensidade da onda incidente) são dadas respectivamente por
\left\{\begin{array}{c} I_{r}=\left(\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}\right)^{2} \\\ I_{t}=\frac{4 n_{1} n_{2}}{\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}} \end{array}\right.
c) Suponha que o segundo meio é um material dielétrico com perdas, caracterizado por uma condutividade ôhmica \sigma e uma permissividade complexa \varepsilon_{2}=\varepsilon_{2}^{\prime}+i \sigma / w ou, alternativamente, por um índice de refração complexo n_{2}=\sqrt{\frac{1}{\varepsilon_{o}}\left(\varepsilon_{2}^{\prime}+i \sigma / w\right)}.
d) Analise as expressões acima para as intensidades das ondas refletida e transmitida no limite em que \sigma \rightarrow \infty. Discuta fisicamente o resultado obtido nesse regime.

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética plana monocromática de frequência \omega propagando-se num meio dielétrico de permissividade \varepsilon. Em seguida pede partes separadas:
  • (a) Mostrar que a intensidade média I (potência média por unidade de área) pode ser escrita como
I=\frac{1}{2}\varepsilon_{0} n c E_{0}^{2},
onde c=1/\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}, n=\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}} e E_{0} é a amplitude do campo elétrico.
  • (b) Para uma onda em um meio com índice n_{1} incidindo normalmente numa interface com meio de índice n_{2}, mostrar que as intensidades relativa da refletida e da transmitida são
I_{r}=\left(\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}\right)^{2},\qquad I_{t}=\frac{4 n_{1} n_{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}.
  • (c) Considerar que o segundo meio tem perdas e pode ser descrito por \varepsilon_{2}=\varepsilon_{2}^{\prime}+i \sigma/\omega ou, equivalentemente, por índice complexo n_{2}=\sqrt{\dfrac{1}{\varepsilon_{0}}\bigl(\varepsilon_{2}^{\prime}+i\sigma/\omega\bigr)}.
  • (d) Analisar o limite \sigma\to\infty das expressões de I_{r} e I_{t} e discutir fisicamente o resultado.
Listei as informações e as perguntas; agora vamos resolver passo a passo, explicando bem as fórmulas usadas.

Passo 2

(a) Vamos obter a expressão da intensidade média usando o vetor de Poynting e a relação entre campos num plano de onda. Conceitos principais (devagar, sem pular):
  • O vetor de Poynting instantâneo é \mathbf{S}(t)=\mathbf{E}(t)\times\mathbf{H}(t). A intensidade média (potência média por área) é a componente média no tempo do vetor de Poynting na direção de propagação: I=\langle S\rangle.
  • Para uma onda plana e monocromática com campos harmônicos (no tempo) podemos usar as amplitudes complexas e a fórmula da média temporal:
I=\frac{1}{2}\operatorname{Re}\bigl(\mathbf{E}_{0}\times\mathbf{H}_{0}^{*}\bigr)
onde \mathbf{E}_{0} e \mathbf{H}_{0} são as amplitudes complexas dos campos.
  • Em um meio não magnético ( \mu=\mu_{0}) e linear, a impedância intrínseca do meio é
\eta=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon}}.
A relação entre amplitudes de magnitude (para ondas planares) é
\frac{E_{0}}{H_{0}}=\eta.
Então H_{0}=E_{0}/\eta.
  • Expressar \eta em termos de n e constantes do vácuo. Como n=\sqrt{\varepsilon/\varepsilon_{0}} e \eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}}=\mu_{0}c, obtemos
\eta=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon}}=\frac{\eta_{0}}{n}=\frac{\mu_{0}c}{n}.
Agora aplicamos tudo para calcular I.

Passo 3

Continuando (a), calcular I explicitamente:
  • A média do módulo do Poynting (para direções bem definidas) dá
I=\frac{1}{2}E_{0}H_{0}.
Substituindo H_{0}=E_{0}/\eta temos
I=\frac{1}{2}\frac{E_{0}^{2}}{\eta}.
  • Substituímos \eta=\mu_{0}c/n. Assim
I=\frac{1}{2}\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}c/n}=\frac{1}{2}\frac{nE_{0}^{2}}{\mu_{0}c}.
  • Usando a identidade 1/(\mu_{0}c)=\varepsilon_{0}c (verificação rápida: c=1/\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}} implica 1/(\mu_{0}c)=\sqrt{\varepsilon_{0}/\mu_{0}}=\varepsilon_{0}c), obtemos finalmente
I=\frac{1}{2}\varepsilon_{0} n c E_{0}^{2},
que é exatamente a fórmula pedida. Pequeninha nota física: n entra porque o campo magnético depende do meio; para o mesmo E_{0} um meio com maior n transporta mais energia por unidade de área.

Passo 4

(b) Agora vamos achar as amplitudes de reflexão e transmissão (e então as intensidades). Estratégia: aplicar as condições de contorno em z=0 (incidência normal) e usar a relação entre E e H em cada meio.
  • Denotemos amplitudes (reais ou complexas) das ondas: incidente E_{i}=E_{0i}e^{i(k_{1}z-\omega t)}, refletida E_{r}=E_{0r}e^{i(-k_{1}z-\omega t)}, transmitida no segundo meio E_{t}=E_{0t}e^{i(k_{2}z-\omega t)}. Para incidência normal as direções são +z para incidente, -z para refletida, +z para transmitida.
  • Condições de contorno em z=0: continuidade da componente tangencial de \mathbf{E} e de \mathbf{H}. Para normal incidência as componentes a considerar reduzem-se a escalres:
E_{0i}+E_{0r}=E_{0t}.
  • Agora para \mathbf{H}: a magnitude do campo magnético em cada meio é H_{0}=\dfrac{n}{\mu_{0}c}E_{0} com sinal dependendo da direção de propagação. Para a componente tangencial em z=0 a condição dá
\frac{n_{1}}{\mu_{0}c}(E_{0i}-E_{0r})=\frac{n_{2}}{\mu_{0}c}E_{0t}.
O sinal menos para E_{0r} aparece porque a onda refletida tem \mathbf{H} em sentido oposto.
  • Simplificando as constantes \mu_{0}c, obtemos o sistema linear
\begin{cases} E_{0i}+E_{0r}=E_{0t},\\[4pt] n_{1}(E_{0i}-E_{0r})=n_{2}E_{0t}. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para as razões de amplitude. Façamos r\equiv E_{0r}/E_{0i} e t\equiv E_{0t}/E_{0i}.
  • Das equações:
1 + r = t,
n_{1}(1 - r) = n_{2} t.
Substituímos t=1+r na segunda:
n_{1}(1 - r)=n_{2}(1 + r).
Agrupando termos em r:
n_{1}-n_{1}r = n_{2} + n_{2}r
-(n_{1}+n_{2})r = n_{2}-n_{1}
r=\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}.
E t=1+r=\dfrac{2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}.
Essas são as amplitudes de campo refletido e transmitido.

Passo 6

Converter amplitudes em intensidades (parte (b)):
  • A intensidade média numa dada região é I=\dfrac{1}{2}\varepsilon_{0} n c |E_{0}|^{2} (derivada em (a)). Para a onda incidente e refletida ambas estão no meio 1 com o mesmo n_{1}. Assim a intensidade refletida relativa à incidente é
I_{r}\equiv\frac{I_{\text{ref}}}{I_{\text{inc}}}=\frac{\dfrac{1}{2}\varepsilon_{0} n_{1} c |E_{0r}|^{2}}{\dfrac{1}{2}\varepsilon_{0} n_{1} c |E_{0i}|^{2}}=\left|\frac{E_{0r}}{E_{0i}}\right|^{2}=|r|^{2}.
Como r é real quando n_{1},n_{2} são reais, temos a forma pedida:
I_{r}=\left(\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}\right)^{2}.
  • Para a transmitida, a intensidade no meio 2 é
I_{t}=\frac{\tfrac{1}{2}\varepsilon_{0} n_{2} c |E_{0t}|^{2}}{\tfrac{1}{2}\varepsilon_{0} n_{1} c |E_{0i}|^{2}}=\frac{n_{2}}{n_{1}}\,|t|^{2}.
Substituindo t=\dfrac{2n_{1}}{n_{1}+n_{2}} e simplificando:
I_{t}=\frac{n_{2}}{n_{1}}\left|\frac{2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}\right|^{2} =\frac{4 n_{1} n_{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}.
Isto completa a parte (b) para índices reais positivos.

Passo 7

(c) O enunciado já dá a modelagem do meio com perdas. Reescrevo e comento pedagogicamente:
  • Um dielétrico com perdas ôhmicas pode ser descrito por uma permissividade complexa
\varepsilon_{2}=\varepsilon_{2}^{\prime}+i\frac{\sigma}{\omega}.
  • O índice de refração complexo é então
n_{2}=\sqrt{\frac{1}{\varepsilon_{0}}\Bigl(\varepsilon_{2}^{\prime}+i\frac{\sigma}{\omega}\Bigr)}.
Observação didática: n_{2} será, em geral, complexo: n_{2}=n_{2}' + i\kappa. O termo imaginário gera atenuação exponencial da amplitude dentro do meio (decaimento espacial), caracterizando a absorção/atenuação.

Passo 8

(d) Analisar o limite \sigma\to\infty. Primeiro, escrevemos as expressões de intensidade válidas para n_{2} complexo:
  • Para n_{2} complexo a razão de intensidade refletida continua sendo
I_{r}= \left|\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}\right|^{2}.
  • A razão de intensidade transmitida (potência média chegando ao interior do meio 2, comparada com a incidente) é, de modo geral,
I_{t}=\frac{4 n_{1}\operatorname{Re}(n_{2})}{|n_{1}+n_{2}|^{2}},
porque I_{t}=(n_{2}/n_{1})|t|^{2} deve ser interpretado tomando a parte real de n_{2} para a potência transportada (a potência real transportada é proporcional a \operatorname{Re}(n)\,|E|^{2}). Então a forma prática é a que escrevi acima.
Agora o limite.

Passo 9

Calcular o comportamento de n_{2} quando \sigma\to\infty (via aproximação de bom condutor):
  • Para \sigma muito grande domina o termo i\sigma/\omega em \varepsilon_{2}, então
n_{2}\approx\sqrt{\frac{i\sigma/ \omega}{\varepsilon_{0}}} =\sqrt{\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}\omega}}\;e^{i\pi/4}.
Outra forma usual para condutores bons é escrever
n_{2}\approx(1+i)\sqrt{\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}\omega}},
o que mostra que tanto parte real quanto imaginária crescem com \sqrt{\sigma}.
  • Assim, |n_{2}|\to\infty quando \sigma\to\infty, e \operatorname{Re}(n_{2}) também cresce sem limite (proporcional a \sqrt{\sigma}).

Passo 10

Aplicar esse comportamento nas fórmulas de I_{r} e I_{t}:
  • Para I_{r}:
I_{r}=\left|\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}\right|^{2} \approx\left|\frac{-n_{2}}{+n_{2}}\right|^{2}=1 \quad\text{quando }|n_{2}|\to\infty.
Ou seja, I_{r}\to 1. Fisicamente a amplitude refletida tende a mesma magnitude da incidente e pode adquirir uma defasagem próxima de \pi (sinal negativo aproximado), mas o módulo quadrado tende a 1.
  • Para I_{t}:
I_{t}=\frac{4 n_{1}\operatorname{Re}(n_{2})}{|n_{1}+n_{2}|^{2}} \approx \frac{4 n_{1}\operatorname{Re}(n_{2})}{|n_{2}|^{2}}.
Como |n_{2}|^{2} cresce como \sigma e \operatorname{Re}(n_{2}) cresce como \sqrt{\sigma}, o quociente tende a zero quando \sigma\to\infty. Portanto I_{t}\to 0.

Passo 11

Interpretação física e comentário final (tom de amigo): quando o condutor fica cada vez mais “bom” (condutividade muito alta), a onda eletromagnética praticamente não entra no material: quase toda a energia é refletida na superfície. O campo transmitido penetra apenas uma distância muito pequena chamada profundidade de penetração (skin depth). Para um bom condutor essa profundidade é
\delta=\sqrt{\frac{2}{\mu_{0}\omega\sigma}},
que tende a zero quando \sigma\to\infty. Assim a energia que “entra” é rapidamente convertida em perdas ôhmicas numa camada finíssima; na soma, do ponto de vista da potência incidente, o condutor perfeito se comporta como um refletor perfeito ( I_{r}\to 1, I_{t}\to 0). Força e ânimo: é essa matemática que explica porque metais polidos refletem luz e por que campos não penetram profundamente em condutores bons.

Resposta

(a) I=\dfrac{1}{2}\varepsilon_{0} n c E_{0}^{2}.
(b) I_{r}=\left(\dfrac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}\right)^{2},\qquad I_{t}=\dfrac{4 n_{1} n_{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}.
(c) \varepsilon_{2}=\varepsilon_{2}^{\prime}+i\dfrac{\sigma}{\omega}\quad e \quad n_{2}=\sqrt{\dfrac{1}{\varepsilon_{0}}\Bigl(\varepsilon_{2}^{\prime}+i\dfrac{\sigma}{\omega}\Bigr)}.
(d) No limite \sigma\to\infty: I_{r}\to 1 e I_{t}\to 0. Fisicamente, o material torna-se um refletor quase perfeito; a onda transmitida é atenuada numa camada muito fina (skin depth \delta=\sqrt{2/(\mu_{0}\omega\sigma)}\to 0) e quase nenhuma potência penetra no volume.

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