1.28 Uma folha metálica delgada separa duas grandes placas paralelas, uma na temperatura uniforme de 1.000 K e a outra a 400 K . Podem-se admitir condições de corpo negro em todas as superfícies, e que a transferência de calor ocorra somente por radiaçāo. Determine a temperatura da folha separadora.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede a temperatura da folha metálica separadora:
  • Placa quente: T_1 = 1000\\ \text{K}.
  • Placa fria: T_2 = 400\\ \text{K}.
  • A folha metálica é delgada e separa as duas placas; todas as superfícies podem ser tratadas como corpos negros.
  • A transferência de calor ocorre somente por radiação; em regime estacionário a folha não acumula energia.
    O que se pede: determinar a temperatura T_s da folha separadora em regime estacionário.

Passo 2

Vamos lembrar a lei que descreve a emissão de um corpo negro e o fluxo radiativo entre superfícies negras.
  • A potên­cia emitida por unidade de área por um corpo negro é dada pela lei de Stefan–Boltzmann:
E_b=\sigma T^4,
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann (valor numérico não será necessário aqui porque cancela).
  • Se duas superfícies negras, grandes e perfeitamente paralelas, estão uma em frente da outra a temperaturas T_a e T_b, o fluxo radiativo líquido por unidade de área de uma para a outra é
q_{a\to b}=\sigma\bigl(T_a^4-T_b^4\bigr).
Explicação intuitiva: cada superfície emite \sigma T^4; o líquido entre as duas é a diferença entre o que uma “manda” e o que recebe da outra.

Passo 3

Agora monte o balanço de energia da folha delgada em regime estacionário.
  • Denotando a temperatura da folha por T_s, o fluxo que incide da placa quente na face esquerda da folha (líquido da esquerda para a folha) é
q_{1\to s}=\sigma\bigl(T_1^4-T_s^4\bigr).
  • O fluxo que sai da face direita da folha para a placa fria (líquido da folha para a direita) é
q_{s\to 2}=\sigma\bigl(T_s^4-T_2^4\bigr).
  • Em regime estacionário a folha não acumula energia, logo o fluxo recebido pela folha pela esquerda deve ser igual ao fluxo perdido pela direita:
\sigma\bigl(T_1^4-T_s^4\bigr)=\sigma\bigl(T_s^4-T_2^4\bigr).

Passo 4

Simplifique a equação do balanço. Como \sigma aparece em ambos os lados, ele cancela:
T_1^4-T_s^4 = T_s^4-T_2^4.
Reorganizando:
2T_s^4 = T_1^4 + T_2^4.
Portanto
T_s = \left(\dfrac{T_1^4+T_2^4}{2}\right)^{1/4}.
Comentário: bonito porque a temperatura da folha fica relacionada à média aritmética das quartas potências das temperaturas das placas.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calcular T_1^4 e T_2^4:
T_1^4 = (1000)^4 = 1{,}000^{4} = 1\times10^{12}.
T_2^4 = (400)^4 = 400^2\cdot400^2 = 160000\cdot160000 = 2{,}56\times10^{10}.
Somando e dividindo por 2:
T_s^4 = \dfrac{1\times10^{12}+2{,}56\times10^{10}}{2} = \dfrac{1{,}0256\times10^{12}}{2} = 5{,}128\times10^{11}.

Passo 6

Calculando a quarta raiz de 5{,}128\times10^{11}. Uma forma prática é tirar a raiz quadrada duas vezes:
\sqrt{5{,}128\times10^{11}}\approx 7{,}15979\times10^{5}\quad(\text{aprox. }715979).
\sqrt{715979}\approx 846{,}5\\ \text{K}.
Logo a temperatura da folha é aproximadamente 846{,}5\\ \text{K}.
Um jeito rápido de checar a ordem de grandeza: T_s deve ficar entre T_1 e T_2, e mais próxima da maior porque T_1^4 domina a média — aqui 846{,}5\\ \text{K} faz sentido.

Resposta

T_s \approx 846{,}5\\ \text{K}

Exercícios relacionados