1.28 Uma folha metálica delgada separa duas grandes placas paralelas, uma na temperatura uniforme de 1.000 K e a outra a 400 K . Podem-se admitir condições de corpo negro em todas as superfícies, e que a transferência de calor ocorra somente por radiaçāo. Determine a temperatura da folha separadora.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede a temperatura da folha metálica separadora:
- Placa quente:
. - Placa fria:
. - A folha metálica é delgada e separa as duas placas; todas as superfícies podem ser tratadas como corpos negros.
- A transferência de calor ocorre somente por radiação; em regime estacionário a folha não acumula energia.
O que se pede: determinar a temperaturada folha separadora em regime estacionário.
Passo 2
Vamos lembrar a lei que descreve a emissão de um corpo negro e o fluxo radiativo entre superfícies negras.
- A potência emitida por unidade de área por um corpo negro é dada pela lei de Stefan–Boltzmann:
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann (valor numérico não será necessário aqui porque cancela).
- Se duas superfícies negras, grandes e perfeitamente paralelas, estão uma em frente da outra a temperaturas
e , o fluxo radiativo líquido por unidade de área de uma para a outra é
Explicação intuitiva: cada superfície emite
; o líquido entre as duas é a diferença entre o que uma “manda” e o que recebe da outra.
Passo 3
Agora monte o balanço de energia da folha delgada em regime estacionário.
- Denotando a temperatura da folha por
, o fluxo que incide da placa quente na face esquerda da folha (líquido da esquerda para a folha) é
- O fluxo que sai da face direita da folha para a placa fria (líquido da folha para a direita) é
- Em regime estacionário a folha não acumula energia, logo o fluxo recebido pela folha pela esquerda deve ser igual ao fluxo perdido pela direita:
Passo 4
Simplifique a equação do balanço. Como
aparece em ambos os lados, ele cancela:
Reorganizando:
Portanto
Comentário: bonito porque a temperatura da folha fica relacionada à média aritmética das quartas potências das temperaturas das placas.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calcular
e
:
Somando e dividindo por 2:
Passo 6
Calculando a quarta raiz de
. Uma forma prática é tirar a raiz quadrada duas vezes:
Logo a temperatura da folha é aproximadamente
.
Um jeito rápido de checar a ordem de grandeza: deve ficar entre
e
, e mais próxima da maior porque
domina a média — aqui
faz sentido.
Um jeito rápido de checar a ordem de grandeza: