6-81 Um aquecedor elétrico de água ( k=0,61 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) utiliza convecção natural para transferir calor a partir de uma resistência elétrica de 110 \mathrm{~V}, 1 \mathrm{~cm} de diâmetro e 0,65 \mathrm{~m} de comprimento, para a água. Durante a operação, a temperatura superficial desse aquecedor é 120^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a temperatura da água é 35^{\circ} \mathrm{C} e o número de Nusselt (com base no diâmetro) é 6. Considerando apenas a superfície lateral do aquecedor (e, portanto, A=\pi D L ), a corrente elétrica que passa pelo elemento de aquecimento é
(a) 3,2 \mathrm{~A}
(b) 3,7 \mathrm{~A}
(c) 4,6 \mathrm{~A}
(d) 5,8 \mathrm{~A}
(e) 6,6 \mathrm{~A}

Passo 1

O enunciado pede a corrente elétrica que passa pelo elemento de aquecimento. Informações dadas (pegadas diretamente do enunciado):
  • Tensão elétrica: V=110\\ \mathrm{V}.
  • Diâmetro do aquecedor: D=1\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do aquecedor: L=0{,}65\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do fluido (água?): k=0{,}61\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Temperatura da superfície do aquecedor: T_s=120^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura da água (fluido): T_{\infty}=35^{\circ}\mathrm{C}.
  • Número de Nusselt (base no diâmetro): \mathrm{Nu}_D=6.
  • Considerar somente a superfície lateral: A=\pi D L.
O que queremos obter: a corrente elétrica I que flui no elemento de aquecimento (escolha entre as alternativas dadas).

Passo 2

Entendendo a relação entre \mathrm{Nu} e o coeficiente de convecção h.
O número de Nusselt é definido (para base no diâmetro) por
\mathrm{Nu}_D=\frac{h D}{k},
onde
  • h é o coeficiente de transferência convectiva de calor (em \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)});
  • D é o diâmetro característico (em \mathrm{m});
  • k é a condutividade térmica do fluido (em \mathrm{W/(m\cdot K)}).
Isolando h obtemos a fórmula prática que usaremos:
h=\frac{\mathrm{Nu}_D\,k}{D}.

Passo 3

Calcular o coeficiente de convecção h usando os números dados.
Substituindo os valores:
h=\frac{6\cdot 0{,}61}{0{,}01}.
Calcule passo a passo:
\frac{0{,}61}{0{,}01}=61,
h=6\cdot 61=366\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.

Passo 4

Área lateral do cilindro (superfície considerada) e diferença de temperatura.
A área lateral é
A=\pi D L.
Substituindo:
A=\pi\cdot 0{,}01\cdot 0{,}65.
Calcule:
A=\pi\cdot 0{,}0065\approx 3{,}1416\cdot 0{,}0065\approx 0{,}0204204\\ \mathrm{m^{2}}.
A diferença de temperatura entre superfície e fluido é
\Delta T=T_s-T_{\infty}=120^{\circ}\mathrm{C}-35^{\circ}\mathrm{C}=85\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Taxa de calor transferida por convecção \dot{Q}.
Para convecção em regime estacionário (superfície com temperatura T_s e fluido a T_{\infty}), a taxa de calor transferida é dada por a lei de resfriamento de Newton:
\dot{Q}=h\,A\,\Delta T,
onde todos os termos já foram definidos.
Substituindo os valores calculados:
\dot{Q}=366\cdot 0{,}0204204\cdot 85\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Fazer as multiplicações passo a passo para \dot{Q}.
Primeiro calcule hA:
hA=366\cdot 0{,}0204204\approx 7{,}4738664\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}\cdot\mathrm{m^{2}}=\mathrm{W/K}.
Agora multiplique por \Delta T:
\dot{Q}=7{,}4738664\cdot 85\approx 635{,}278644\\ \mathrm{W}.
Arredondando razoavelmente:
\dot{Q}\approx 635{,}28\\ \mathrm{W}.
Observação física: essa \dot{Q} é a potência térmica que sai da resistência para a água por convecção; em regime estacionário, essa potência provém da potência elétrica dissipada na resistência.

Passo 7

Relacionar potência elétrica com corrente.
A potência elétrica dissipada por um elemento submetido a tensão V e corrente I é
P=V I.
Em regime estacionário, a potência elétrica fornecida P deve igualar a potência térmica removida por convecção (ignorando outras perdas), ou seja
V I=\dot{Q}.
Logo a corrente é
I=\frac{\dot{Q}}{V}.

Passo 8

Calcular a corrente numérica.
Substituindo \dot{Q}\approx 635{,}278644\\ \mathrm{W} e V=110\\ \mathrm{V}:
I=\frac{635{,}278644}{110}\\ \mathrm{A}\approx 5{,}7752604\\ \mathrm{A}.
Arredondando para uma casa decimal (para comparar com as alternativas):
I\approx 5{,}8\\ \mathrm{A}.

Resposta

5{,}8\\ \mathrm{A} (alternativa (d))

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