Questão
Em
, considere o produto interno
. Determine
para que
e
sejam ortogonais.
(A) 1
(B)
(C)
(D)
(E)
(A) 1
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado fornece as funções polinomiais
e
no espaço
e o produto interno
A pergunta é: determinar
tal que
e
sejam ortogonais.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
. -
. - Produto interno:
. - Ortogonalidade significa que
.
Passo 2
Transformar a condição de ortogonalidade em uma equação concreta. Usando a definição do produto interno, escrevemos:
Isso é tudo o que precisamos resolver para encontrar
.
Passo 3
Expandir o integrando para integrar termo a termo. Multiplicando os polinômios:
Portanto a integral vira a soma de integrais de monômios:
Passo 4
Integrar termo a termo. Lembre-se das primitivas básicas:
para
,
. Aplicando de
a
:
Somando:
Passo 5
Simplificar a equação encontrada. Calcule os coeficientes de
e o termo constante:
Assim a equação fica
Resolver para
: multiplicando ambos os lados por
,
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas útil): substituindo
no resultado da integração dos termos com
:
e então
, confirmando que a escolha torna o produto interno zero.