28{ }^{\text {a }} Questão

Em P 3(\mathbb{R}), considere o produto interno <f(t), g(t)>=\int_{0}^{1} f(t) g(t) d t. Determine a \in \mathbb{R} para que f(t)=a t^{2}+1 e g(t)=t-2 sejam ortogonais.
(A) 1
(B) \sqrt{2}
(C) -1+\sqrt{2}
(D) -\frac{18}{5}
(E) \frac{15}{8}

Passo 1

O enunciado fornece as funções polinomiais f(t)=a t^{2}+1 e g(t)=t-2 no espaço P_3(\mathbb{R}) e o produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(t)g(t)\,dt.
A pergunta é: determinar a\in\mathbb{R} tal que f e g sejam ortogonais.
Informações relevantes dadas:
  • f(t)=a t^{2}+1.
  • g(t)=t-2.
  • Produto interno: \langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(t)g(t)\,dt.
  • Ortogonalidade significa que \langle f,g\rangle=0.

Passo 2

Transformar a condição de ortogonalidade em uma equação concreta. Usando a definição do produto interno, escrevemos:
\int_{0}^{1} (a t^{2}+1)(t-2)\,dt = 0.
Isso é tudo o que precisamos resolver para encontrar a.

Passo 3

Expandir o integrando para integrar termo a termo. Multiplicando os polinômios:
(a t^{2}+1)(t-2)=a t^{3}-2a t^{2}+t-2.
Portanto a integral vira a soma de integrais de monômios:
\int_{0}^{1}\big(a t^{3}-2a t^{2}+t-2\big)\,dt = 0.

Passo 4

Integrar termo a termo. Lembre-se das primitivas básicas: \int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq-1, \int 1\,dt = t. Aplicando de 0 a 1:
\int_{0}^{1} a t^{3}\,dt = a\left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=a\cdot\frac{1}{4},
\int_{0}^{1} (-2a t^{2})\,dt = -2a\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=-2a\cdot\frac{1}{3},
\int_{0}^{1} t\,dt = \left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2},
\int_{0}^{1} (-2)\,dt = \left[-2t\right]_{0}^{1}=-2.
Somando:
a\cdot\frac{1}{4}-2a\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2=0.

Passo 5

Simplificar a equação encontrada. Calcule os coeficientes de a e o termo constante:
\frac{1}{4}-\frac{2}{3}=\frac{3-8}{12}=-\frac{5}{12}, \qquad \frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}.
Assim a equação fica
-\frac{5}{12}a-\frac{3}{2}=0.
Resolver para a: multiplicando ambos os lados por 12,
-5a-18=0 \quad\Rightarrow\quad -5a=18 \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{18}{5}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil): substituindo a=-\dfrac{18}{5} no resultado da integração dos termos com a:
a\cdot\frac{1}{4}-2a\cdot\frac{1}{3} = -\frac{18}{5}\cdot\frac{1}{4}-2\cdot\left(-\frac{18}{5}\right)\cdot\frac{1}{3} = -\frac{9}{10}+\frac{12}{5}=\frac{3}{2},
e então \frac{3}{2}+\left(\frac{1}{2}-2\right)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=0, confirmando que a escolha torna o produto interno zero.

Resposta

-\dfrac{18}{5}

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