Dados três vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} do R^{3}, o produto misto \vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w})=[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] é:
(A) um vetor ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}.
(B) um vetor ortogonal a \vec{v} e a \vec{w}.
(C) um vetor ortogonal a \vec{u} e a \vec{w}.
(D) um vetor ortogonal a \vec{u}, a \vec{v} e \vec{w}.
(E) um número real.
Passo 1
O enunciado dá três vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} em \mathbb{R}^3 e define o produto misto como \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]. Pergunta-se qual das alternativas (A)–(E) é verdadeira sobre esse produto misto.
Informações relevantes do enunciado:
Os vetores são \vec{u},\vec{v},\vec{w}\in\mathbb{R}^3.
O produto misto é escrito \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) ou [\vec{u},\vec{v},\vec{w}].
As alternativas envolvem dizer se o produto misto é um vetor ortogonal a certos vetores ou se é um número real.
Passo 2
Relembrando definições básicas (aulas rápidas):
Produto vetorial: para \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^3, o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é um vetor perpendicular a ambos \vec{a} e \vec{b}. Em símbolos:
Produto escalar: para \vec{p},\vec{q}\in\mathbb{R}^3, o produto escalar \vec{p}\cdot\vec{q} é um número real (um escalar). Ele é obtido somando o produto das componentes correspondentes:
\vec{p}\cdot\vec{q}=p_1 q_1 + p_2 q_2 + p_3 q_3.
Observação importante: o produto escalar entre dois vetores sempre dá um número real, nunca um vetor.
Passo 3
Aplicando as definições ao produto misto: \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
Primeiro faz-se \vec{v}\times\vec{w}: isso produz um vetor (chamemos de \vec{z}) que é ortogonal a \vec{v} e a \vec{w}. Ou seja,
Depois faz-se o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{z}: produto escalar entre \vec{u} e \vec{z} resulta em um número real. Logo a composição \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) é um escalar (número real).
Passo 4
Mostrando de outra forma (fórmula com determinante): se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3), \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), \vec{w}=(w_1,w_2,w_3), então
Uma determinante é um número real, portanto isso confirma algebraicamente que o produto misto é um número real.]
Passo 5
Discussão sobre as alternativas:
As alternativas (A), (B) e (C) afirmam que o produto misto é um vetor ortogonal a dois dos vetores dados. Mas já vimos que o produto misto é o resultado de um produto escalar (um número), não um vetor — portanto essas alternativas não fazem sentido.
A alternativa (D) diz que é um vetor ortogonal a \vec{u},\vec{v} e \vec{w}; também contradiz o fato de o produto misto ser um escalar. Além disso, nenhum vetor (exceto o vetor zero) pode ser simultaneamente ortogonal a três vetores independentes em \mathbb{R}^3, então (D) estaria errada mesmo se o produto misto fosse vetor.
A alternativa (E) afirma que é um número real, que é exatamente o que as definições e a fórmula do determinante mostram.
Passo 6
Exemplo numérico para consolidar a intuição (um mini teste mental): tome \vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(0,1,0), \vec{w}=(0,0,1). Então
\vec{v}\times\vec{w}=(1,0,0),
que é um vetor (perpendicular a \vec{v} e \vec{w}). Agora
um número real. Isso ilustra concretamente que o produto misto produz um escalar (neste caso 1).
Passo 7
Resumo final e conclusão: a operação \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) é um produto escalar entre \vec{u} e o vetor \vec{v}\times\vec{w}, portanto o resultado é um número real (escalar). Logo a alternativa correta é a (E).