27{ }^{\text {a }} Questão

Dados três vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} do R^{3}, o produto misto \vec{u} \cdot(\vec{v} \times \vec{w})=[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] é:
(A) um vetor ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}.
(B) um vetor ortogonal a \vec{v} e a \vec{w}.
(C) um vetor ortogonal a \vec{u} e a \vec{w}.
(D) um vetor ortogonal a \vec{u}, a \vec{v} e \vec{w}.
(E) um número real.

Passo 1

O enunciado dá três vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} em \mathbb{R}^3 e define o produto misto como \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]. Pergunta-se qual das alternativas (A)–(E) é verdadeira sobre esse produto misto.
Informações relevantes do enunciado:
  • Os vetores são \vec{u},\vec{v},\vec{w}\in\mathbb{R}^3.
  • O produto misto é escrito \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) ou [\vec{u},\vec{v},\vec{w}].
  • As alternativas envolvem dizer se o produto misto é um vetor ortogonal a certos vetores ou se é um número real.

Passo 2

Relembrando definições básicas (aulas rápidas):
  • Produto vetorial: para \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^3, o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é um vetor perpendicular a ambos \vec{a} e \vec{b}. Em símbolos:
(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0,\qquad (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0.
  • Produto escalar: para \vec{p},\vec{q}\in\mathbb{R}^3, o produto escalar \vec{p}\cdot\vec{q} é um número real (um escalar). Ele é obtido somando o produto das componentes correspondentes:
\vec{p}\cdot\vec{q}=p_1 q_1 + p_2 q_2 + p_3 q_3.
Observação importante: o produto escalar entre dois vetores sempre dá um número real, nunca um vetor.

Passo 3

Aplicando as definições ao produto misto: \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
  • Primeiro faz-se \vec{v}\times\vec{w}: isso produz um vetor (chamemos de \vec{z}) que é ortogonal a \vec{v} e a \vec{w}. Ou seja,
\vec{z}=\vec{v}\times\vec{w},\qquad \vec{z}\cdot\vec{v}=0,\quad \vec{z}\cdot\vec{w}=0.
  • Depois faz-se o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{z}: produto escalar entre \vec{u} e \vec{z} resulta em um número real. Logo a composição \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) é um escalar (número real).

Passo 4

Mostrando de outra forma (fórmula com determinante): se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3), \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), \vec{w}=(w_1,w_2,w_3), então
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) =\det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3\\[4pt] w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}.
Uma determinante é um número real, portanto isso confirma algebraicamente que o produto misto é um número real.]

Passo 5

Discussão sobre as alternativas:
  • As alternativas (A), (B) e (C) afirmam que o produto misto é um vetor ortogonal a dois dos vetores dados. Mas já vimos que o produto misto é o resultado de um produto escalar (um número), não um vetor — portanto essas alternativas não fazem sentido.
  • A alternativa (D) diz que é um vetor ortogonal a \vec{u},\vec{v} e \vec{w}; também contradiz o fato de o produto misto ser um escalar. Além disso, nenhum vetor (exceto o vetor zero) pode ser simultaneamente ortogonal a três vetores independentes em \mathbb{R}^3, então (D) estaria errada mesmo se o produto misto fosse vetor.
  • A alternativa (E) afirma que é um número real, que é exatamente o que as definições e a fórmula do determinante mostram.

Passo 6

Exemplo numérico para consolidar a intuição (um mini teste mental): tome
\vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(0,1,0), \vec{w}=(0,0,1). Então
\vec{v}\times\vec{w}=(1,0,0),
que é um vetor (perpendicular a \vec{v} e \vec{w}). Agora
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=(1,0,0)\cdot(1,0,0)=1,
um número real. Isso ilustra concretamente que o produto misto produz um escalar (neste caso 1).

Passo 7

Resumo final e conclusão: a operação \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) é um produto escalar entre \vec{u} e o vetor \vec{v}\times\vec{w}, portanto o resultado é um número real (escalar). Logo a alternativa correta é a (E).

Resposta

(E)

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