Problema de Revisão. Cargas aceleradas irradiam ondas eletromagnéticas. Calcule o comprimento de onda da radiação produzida por um próton em um ciclotron com um raio de
e campo magnético de
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de onda da radiação emitida por um próton que se move num ciclotron com raio
e campo magnético
. Informações relevantes (valores físicos que vamos usar):
- carga do próton:
(valor conhecido do elétron com sinal positivo); - massa do próton:
; - velocidade da luz no vácuo:
.
O que precisamos encontrar: o comprimento de ondada radiação produzida pela aceleração circular do próton no ciclotron.
Passo 2
Entendendo a física e a fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático).
- Um próton em movimento circular num campo magnético uniforme sofre uma força magnética
perpendicular à velocidade, que fornece a força centrípeta . - Igualando essas forças obtemos a relação entre velocidade
, campo e raio :
- Cancelando um fator
(assumindo ) obtemos
- A frequência de revolução (frequência cyclotron) é dada por
. Substituindo da expressão acima resulta a expressão clássica bem conhecida:
Observação importante (didática): note que
não depende do raio
— esse é um resultado típico do ciclotron não relativístico. Essa frequência é a frequência da aceleração circular, e a radiação será emitida predominante nessa frequência (ou em harmônicos, mas aqui tomamos a frequência fundamental).
Passo 3
Cálculo da frequência numérica. Vamos calcular
usando os valores dados:
Substituindo números:
Agora avaliaremos passo a passo os termos:
Portanto
Passo 4
Relação entre frequência e comprimento de onda (aulas rápidas).
- Para ondas eletromagnéticas no vácuo vale a relação básica entre velocidade de propagação
, frequência e comprimento de onda :
- Usando
e o valor de calculado, temos
Calculando:
Passo 5
Verificação da consistência (não-relativística) — por que usamos as fórmulas clássicas.
- Calculamos a velocidade do próton para checar se
(condição para que as fórmulas clássicas do ciclotron sejam válidas). Usando :
Avaliação:
Como
é cerca de
da velocidade da luz, a aproximação não-relativística é razoável. Logo a frequência cyclotron e o comprimento de onda calculados são consistentes.
Passo 6
Comentário final e dica prática para prova.
- Resumo do método usado: 1) usar equilíbrio força magnética = força centrípeta para obter
; 2) usar para mostrar que (fórmula útil que se aplica a qualquer ciclo não-relativístico); 3) obter . - Dica: em provas, decorar a fórmula
é muito útil — ela evita calcular e e mostra por que a frequência não depende do raio. Sempre checar se a velocidade obtida é muito menor que para garantir validade da fórmula clássica.