29^{\circ} Problema de Revisão. Cargas aceleradas irradiam ondas eletromagnéticas. Calcule o comprimento de onda da radiação produzida por um próton em um ciclotron com um raio de 0,500 \mathrm{~m} e campo magnético de 0,350 \mathrm{~T}.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda da radiação emitida por um próton que se move num ciclotron com raio r=0{,}500\\ \mathrm{m} e campo magnético B=0{,}350\\ \mathrm{T}. Informações relevantes (valores físicos que vamos usar):
  • carga do próton: q=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (valor conhecido do elétron com sinal positivo);
  • massa do próton: m_p=1{,}673\times10^{-27}\\ \mathrm{kg};
  • velocidade da luz no vácuo: c=2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    O que precisamos encontrar: o comprimento de onda \lambda da radiação produzida pela aceleração circular do próton no ciclotron.

Passo 2

Entendendo a física e a fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático).
  • Um próton em movimento circular num campo magnético uniforme sofre uma força magnética F=qvB perpendicular à velocidade, que fornece a força centrípeta F_{\text{cent}}=m_p v^{2}/r.
  • Igualando essas forças obtemos a relação entre velocidade v, campo B e raio r:
q v B = \frac{m_p v^{2}}{r}.
  • Cancelando um fator v (assumindo v\neq0) obtemos
v=\frac{q B r}{m_p}.
  • A frequência de revolução (frequência cyclotron) é dada por f=v/(2\pi r). Substituindo v da expressão acima resulta a expressão clássica bem conhecida:
f=\frac{qB}{2\pi m_p}.
Observação importante (didática): note que f não depende do raio r — esse é um resultado típico do ciclotron não relativístico. Essa frequência é a frequência da aceleração circular, e a radiação será emitida predominante nessa frequência (ou em harmônicos, mas aqui tomamos a frequência fundamental).

Passo 3

Cálculo da frequência numérica. Vamos calcular f usando os valores dados:
f=\frac{qB}{2\pi m_p}.
Substituindo números:
f=\frac{(1{,}602\times10^{-19})\cdot(0{,}350)}{2\pi\cdot(1{,}673\times10^{-27})}.
Agora avaliaremos passo a passo os termos:
qB=(1{,}602\times10^{-19})\cdot(0{,}350)=5{,}607\times10^{-20}\\ \mathrm{C\cdot T},
2\pi m_p=2\pi\cdot(1{,}673\times10^{-27})\approx1{,}0517\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Portanto
f=\frac{5{,}607\times10^{-20}}{1{,}0517\times10^{-26}}\approx5{,}33\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Relação entre frequência e comprimento de onda (aulas rápidas).
  • Para ondas eletromagnéticas no vácuo vale a relação básica entre velocidade de propagação c, frequência f e comprimento de onda \lambda:
\lambda=\frac{c}{f}.
  • Usando c=2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e o valor de f calculado, temos
\lambda=\frac{2{,}998\times10^{8}}{5{,}33\times10^{6}}\\ \mathrm{m}.
Calculando:
\lambda\approx56{,}1\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Verificação da consistência (não-relativística) — por que usamos as fórmulas clássicas.
  • Calculamos a velocidade do próton para checar se v\ll c (condição para que as fórmulas clássicas do ciclotron sejam válidas). Usando v=(qBr)/m_p:
v=\frac{(1{,}602\times10^{-19})\cdot(0{,}350)\cdot(0{,}500)}{1{,}673\times10^{-27}}.
Avaliação:
v\approx1{,}68\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}\approx0{,}056\,c.
Como v é cerca de 5{,}6\% da velocidade da luz, a aproximação não-relativística é razoável. Logo a frequência cyclotron e o comprimento de onda calculados são consistentes.

Passo 6

Comentário final e dica prática para prova.
  • Resumo do método usado: 1) usar equilíbrio força magnética = força centrípeta para obter v=\dfrac{qBr}{m_p}; 2) usar f=v/(2\pi r) para mostrar que f=\dfrac{qB}{2\pi m_p} (fórmula útil que se aplica a qualquer ciclo não-relativístico); 3) obter \lambda=c/f.
  • Dica: em provas, decorar a fórmula \displaystyle f=\frac{qB}{2\pi m} é muito útil — ela evita calcular v e r e mostra por que a frequência não depende do raio. Sempre checar se a velocidade obtida é muito menor que c para garantir validade da fórmula clássica.

Resposta

\lambda=56{,}1\\ \mathrm{m}

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