22^{\circ} \mathrm{A} que distância de uma fonte pontual de onda eletromagnética de 100 W temos E_{\text {máx }}=15,0 \mathrm{~V} / \mathrm{m}á ?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Potência da fonte pontual: P=100\\ \mathrm{W}.
  • Valor máximo do campo elétrico desejado: E_{\max}=15{,}0\\ \mathrm{V/m}.
  • Pergunta: a que distância r da fonte, em espaço livre, esse valor de E_{\max} ocorre?

Passo 2

Entendendo intensidade (uma aula curtinha e prática).
  • Para uma fonte pontual isotrópica (que emite igualmente em todas as direções) a potência total P é distribuída sobre a superfície de uma esfera de raio r. A área dessa esfera é 4\pi r^{2}. Logo a intensidade média (potência por área) em distância r é
I=\frac{P}{4\pi r^{2}}.
  • Aqui I tem unidades de \mathrm{W/m^{2}}. Essa é a potência média que atravessa cada metro quadrado da esfera centrada na fonte.

Passo 3

Relação entre intensidade e campo elétrico (ouça o Poynting falando baixinho).
  • Para uma onda eletromagnética em espaço livre, a intensidade média também pode ser escrita em função do campo elétrico máximo E_{\max}. Primeiro, o valor eficaz (rms) do campo elétrico é
E_{\mathrm{rms}}=\frac{E_{\max}}{\sqrt{2}}.
  • A intensidade média em termos de E_{\mathrm{rms}} e da impedância do meio \eta_{0} (impedância do espaço livre) é
I=\frac{E_{\mathrm{rms}}^{2}}{\eta_{0}}=\frac{E_{\max}^{2}}{2\eta_{0}}.
  • Aqui \eta_{0} é aproximadamente \eta_{0}=120\pi\\ \Omega (que vale cerca de 377\\ \Omega). Vou usar a forma exata \eta_{0}=120\pi porque simplifica contas depois.

Passo 4

Igualando as duas expressões para intensidade e isolando r.
  • Igualando I=\dfrac{P}{4\pi r^{2}} com I=\dfrac{E_{\max}^{2}}{2\eta_{0}} temos
\frac{P}{4\pi r^{2}}=\frac{E_{\max}^{2}}{2\eta_{0}}.
  • Isolando r^{2}:
r^{2}=\frac{P\,\eta_{0}}{2\pi E_{\max}^{2}}.
  • Usando \eta_{0}=120\pi simplifica bem:
r^{2}=\frac{P\cdot 120\pi}{2\pi E_{\max}^{2}}=\frac{60\,P}{E_{\max}^{2}}.
  • Portanto a distância é
r=\frac{\sqrt{60\,P}}{E_{\max}}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos e calculando passo a passo.
  • Primeiro calcule \sqrt{60\,P} com P=100\\ \mathrm{W}:
60\,P=60\cdot100=6000, \qquad \sqrt{6000}\approx77{,}4596669.
  • Agora divida por E_{\max}=15{,}0\\ \mathrm{V/m}:
r=\frac{77{,}4596669}{15{,}0}\approx5{,}1639778\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) temos r\approx5{,}16\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cheque rápido de consistência (autoverificação).
  • Calcule a intensidade a partir de E_{\max}:
I=\frac{E_{\max}^{2}}{2\eta_{0}}=\frac{15{,}0^{2}}{2\cdot120\pi}=\frac{225}{240\pi}\approx0{,}2985\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Calcule P/(4\pi r^{2}) com r\approx5{,}16398\\ \mathrm{m}:
\frac{100}{4\pi (5{,}16398)^{2}}\approx0{,}2985\\ \mathrm{W/m^{2}},
que bate com o cálculo anterior — perfeito, resultado consistente.

Resposta

r\approx5{,}16\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados