5.29 I Um condutor coaxial tem raios
e um dielétrico de poliestireno para o qual
. Se
no dielétrico, calcule: (a) D e E como funções de
; (b)
e
. (c) Se existirem
moléculas por metro cúbico no dielétrico, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá um capacitor coaxial com raio interno
e raio externo
, preenchido por um dielétrico (poliestireno) com
. No dielétrico a polarização é
Pede-se:
(a) e
no dielétrico (para
);
(b) a diferença de potencial e a susceptibilidade elétrica
;
(c) sabendo que existem moléculas por metro cúbico no dielétrico, calcule
(momento dipolar médio por molécula).
Lista das informações relevantes:
A densidade de polarização dada tem unidade nC/m (portanto
).
Não há indicação de cargas livres distribuídas no dielétrico (as cargas livres estão nas superfícies condutoras).
(a)
(b) a diferença de potencial
(c) sabendo que existem
Lista das informações relevantes:
A densidade de polarização dada tem unidade nC/m
Não há indicação de cargas livres distribuídas no dielétrico (as cargas livres estão nas superfícies condutoras).
Passo 2
Vamos reunir as fórmulas e conceitos que usaremos (explicando cada uma de forma clara):
- Relação constitutiva para um dielétrico linear e homogêneo:
onde
é a polarização (C/m
),
é a permissividade do vácuo (
),
é a susceptibilidade elétrica (adimensional) e
o campo elétrico (V/m). Essa fórmula significa: em materiais lineares a polarização é proporcional ao campo elétrico, a constante de proporcionalidade é
.
2) Relação entre e
:
2) Relação entre
Portanto podemos obter
diretamente de
.
3) Campo de deslocamento elétrico:
3) Campo de deslocamento elétrico:
As três expressões são equivalentes; usamos a que for mais conveniente em cada passo.
4) Para um campo radial em coordenadas cilíndricas (apenas componente ), a divergência é
4) Para um campo radial em coordenadas cilíndricas (apenas componente
- Lei de Gauss para
:
ou na forma integral, para um cilindro de comprimento
:
No espaço entre os condutores não há carga livre volumétrica, então
em
, o que implica
.
6) Cargas ligadas podem ser obtidas por e
nas superfícies.
6) Cargas ligadas podem ser obtidas por
Com isso podemos relacionar diretamente
e
(e assim achar
), porque o material tem
constante (logo é linear e homogêneo).
Passo 3
Calcular a susceptibilidade
a partir de
:
Passo 4
Encontrar
usando
.
Primeiro convertemos para SI:
Primeiro convertemos
Agora isolamos
:
Podemos escrever essa expressão também numericamente. Calculando a constante:
Logo, em SI (com
em metros),
(Observe: o
garante que o campo diverge radialmente como esperado num capacitor coaxial.)
Passo 5
Encontrar
. Usamos
ou diretamente
. Vou mostrar ambas e simplificar:
Usando ,
Usando
Como
, obtemos
Em unidades de nC/m
(mais compacto, pois
estava em nC/m
):
Comentário físico rápido: essa expressão tem a forma esperada
. Pela lei integral de Gauss para
, o fluxo
(carga livre por unidade de comprimento), logo a constante no numerador é compatível com uma certa
; se quisermos,
Mas isso é apenas informação adicional — a forma funcional pedida foi dada acima.
Passo 6
Calcular
. Em eletrostática:
Aqui
e
, então
Usando o valor numérico que já calculamos para a constante
, e com
e
,
Portanto
Passo 7
Relembrando
(pedido em (b)) já calculado:
Passo 8
Parte (c): calcular o momento dipolar médio por molécula
. A relação entre polarização macroscópica e momento por molécula é
onde
é o número de moléculas por volume (m
). Assim
Com
e
,
Escrevendo com potência única:
com
em metros. (Se quiser converter em Debye:
; então
, esse valor em Debye depende de
e foi apenas nota complementar.)