5.29 I Um condutor coaxial tem raios a=0,8 \mathrm{~mm} \mathrm{e} b=3 \mathrm{~mm} e um dielétrico de poliestireno para o qual \epsilon_{r}=2,56. Se \mathbf{P}=(2 / \rho) \mathbf{a}_{\rho} \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} no dielétrico, calcule: (a) D e E como funções de \rho; (b) V_{a b} e \chi_{e}. (c) Se existirem 4 \times 10^{19} moléculas por metro cúbico no dielétrico, calcule \mathbf{p}(\rho).

Passo 1

O enunciado dá um capacitor coaxial com raio interno a=0{,}8\\ \mathrm{mm} e raio externo b=3\\ \mathrm{mm}, preenchido por um dielétrico (poliestireno) com \epsilon_{r}=2{,}56. No dielétrico a polarização é
\mathbf{P}(\rho)=\frac{2}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}\\ \text{nC/m}^2.
Pede-se:
(a) \mathbf{D}(\rho) e \mathbf{E}(\rho) no dielétrico (para a<\rho<b);
(b) a diferença de potencial V_{ab}=V(a)-V(b) e a susceptibilidade elétrica \chi_{e};
(c) sabendo que existem 4\times 10^{19} moléculas por metro cúbico no dielétrico, calcule \mathbf{p}(\rho) (momento dipolar médio por molécula).
Lista das informações relevantes:
\;a=0{,}8\\ \mathrm{mm}=8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m},\; b=3{,}0\\ \mathrm{mm}=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
A densidade de polarização dada tem unidade nC/m ^2 (portanto 1\\ \text{nC}=10^{-9}\\ \text{C}).
Não há indicação de cargas livres distribuídas no dielétrico (as cargas livres estão nas superfícies condutoras).

Passo 2

Vamos reunir as fórmulas e conceitos que usaremos (explicando cada uma de forma clara):
  1. Relação constitutiva para um dielétrico linear e homogêneo:
\mathbf{P}=\epsilon_0\,\chi_{e}\,\mathbf{E},
onde \mathbf{P} é a polarização (C/m ^2), \epsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \epsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}), \chi_{e} é a susceptibilidade elétrica (adimensional) e \mathbf{E} o campo elétrico (V/m). Essa fórmula significa: em materiais lineares a polarização é proporcional ao campo elétrico, a constante de proporcionalidade é \epsilon_0\chi_e.
2) Relação entre \epsilon_r e \chi_e:
\epsilon_r = 1+\chi_e.
Portanto podemos obter \chi_e diretamente de \epsilon_r.
3) Campo de deslocamento elétrico:
\mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}=\epsilon_0(1+\chi_e)\mathbf{E}=\epsilon_0\epsilon_r\mathbf{E}.
As três expressões são equivalentes; usamos a que for mais conveniente em cada passo.
4) Para um campo radial em coordenadas cilíndricas (apenas componente \rho), a divergência é
\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho A_{\rho})\quad\text{(se só há componente radial)}.óá
  1. Lei de Gauss para \mathbf{D}:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{free}},
ou na forma integral, para um cilindro de comprimento L:
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{a} = Q_{\text{free,enc}}.
No espaço entre os condutores não há carga livre volumétrica, então \nabla\cdot\mathbf{D}=0 em a<\rho<b, o que implica D_{\rho}\propto 1/\rho.
6) Cargas ligadas podem ser obtidas por \rho_b=-\nabla\cdot\mathbf{P} e \sigma_b=\mathbf{P}\cdot\hat{n} nas superfícies.
Com isso podemos relacionar diretamente \mathbf{P} e \mathbf{E} (e assim achar \mathbf{D}), porque o material tem \epsilon_r constante (logo é linear e homogêneo).

Passo 3

Calcular a susceptibilidade \chi_{e} a partir de \epsilon_{r}:
\chi_{e}=\epsilon_{r}-1=2{,}56-1=1{,}56.

Passo 4

Encontrar \mathbf{E}(\rho) usando \mathbf{P}=\epsilon_0\chi_e\mathbf{E}.
Primeiro convertemos \mathbf{P} para SI:
\mathbf{P}(\rho)=\frac{2}{\rho}\\ \text{nC/m}^2=\frac{2\times10^{-9}}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}\\ \text{C/m}^2.
Agora isolamos \mathbf{E}:
\mathbf{E}(\rho)=\frac{\mathbf{P}(\rho)}{\epsilon_0\chi_e} = \frac{1}{\epsilon_0\chi_e}\,\frac{2\times10^{-9}}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}.
Podemos escrever essa expressão também numericamente. Calculando a constante:
\frac{2\times10^{-9}}{\epsilon_0\chi_e} = \frac{2\times10^{-9}}{(8{,}854187817\times10^{-12})\times 1{,}56} \approx 144{,}70.
Logo, em SI (com \rho em metros),
\boxed{\mathbf{E}(\rho)\approx \frac{144{,}70}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}\\ \text{V/m}.}
(Observe: o 1/\rho garante que o campo diverge radialmente como esperado num capacitor coaxial.)

Passo 5

Encontrar \mathbf{D}(\rho). Usamos \mathbf{D}=\epsilon_0\epsilon_r\mathbf{E} ou diretamente \mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}. Vou mostrar ambas e simplificar:
Usando \mathbf{D}=\epsilon_0\epsilon_r\mathbf{E},
\mathbf{D}(\rho)=\epsilon_0\epsilon_r\mathbf{E}(\rho) = \epsilon_0\epsilon_r\frac{1}{\epsilon_0\chi_e}\frac{2\times10^{-9}}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho} =\frac{\epsilon_r}{\chi_e}\frac{2\times10^{-9}}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}.
Como \epsilon_r/\chi_e=2{,}56/1{,}56\approx1{,}64102564, obtemos
\mathbf{D}(\rho)\approx\frac{3{,}28205128\times10^{-9}}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}\\ \text{C/m}^2.
Em unidades de nC/m ^2 (mais compacto, pois \mathbf{P} estava em nC/m ^2):
\boxed{\mathbf{D}(\rho)\approx \frac{3{,}28205128}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}\\ \text{nC/m}^2.}
Comentário físico rápido: essa expressão tem a forma esperada \mathbf{D}\propto1/\rho. Pela lei integral de Gauss para \mathbf{D}, o fluxo \oint\mathbf{D}\cdot d\mathbf{a}= \lambda_{\text{free}} (carga livre por unidade de comprimento), logo a constante no numerador é compatível com uma certa \lambda_{\text{free}}; se quisermos,
\lambda_{\text{free}}=2\pi\cdot(3{,}28205128\\ \text{nC/m})\approx 20{,}62\\ \text{nC/m}.
Mas isso é apenas informação adicional — a forma funcional pedida foi dada acima.

Passo 6

Calcular V_{ab}=V(a)-V(b). Em eletrostática:
V(a)-V(b)=\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}.
Aqui d\boldsymbol{\ell}=d\rho\,\mathbf{a}_{\rho} e \mathbf{E}(\rho)=E_{\rho}(\rho)\mathbf{a}_{\rho}, então
V_{ab}=\int_{a}^{b} E_{\rho}(\rho)\,d\rho =\int_{a}^{b}\frac{1}{\epsilon_0\chi_e}\frac{2\times10^{-9}}{\rho}\,d\rho =\frac{2\times10^{-9}}{\epsilon_0\chi_e}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
Usando o valor numérico que já calculamos para a constante \dfrac{2\times10^{-9}}{\epsilon_0\chi_e}\approx 144{,}70, e com a=8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m} e b=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=\ln\!\left(\frac{3{,}0\times10^{-3}}{8{,}0\times10^{-4}}\right)=\ln(3{,}75)\approx 1{,}321755.
Portanto
\boxed{V_{ab}=V(a)-V(b)\approx 144{,}70\times 1{,}321755 \approx 191{,}3\\ \text{V}.}

Passo 7

Relembrando \chi_e (pedido em (b)) já calculado:
\boxed{\chi_{e}=1{,}56.}

Passo 8

Parte (c): calcular o momento dipolar médio por molécula \mathbf{p}(\rho). A relação entre polarização macroscópica e momento por molécula é
\mathbf{P}=N\,\mathbf{p},
onde N é o número de moléculas por volume (m ^{-3}). Assim
\mathbf{p}(\rho)=\frac{\mathbf{P}(\rho)}{N}.
Com N=4\times10^{19}\\ \mathrm{m}^{-3} e \mathbf{P}(\rho)=\dfrac{2\times10^{-9}}{\rho}\mathbf{a}_{\rho}\\ \mathrm{C/m}^2,
\mathbf{p}(\rho)=\frac{2\times10^{-9}}{4\times10^{19}}\frac{1}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho} =\frac{0{,}5\times10^{-28}}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}\\ \text{C·m}.
Escrevendo com potência única:
\boxed{\mathbf{p}(\rho)=\frac{5{,}0\times10^{-29}}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}\\ \text{C·m},}
com \rho em metros. (Se quiser converter em Debye: 1\\ \text{D}\approx3{,}33564\times10^{-30}\\ \text{C·m}; então \mathbf{p}(\rho)\approx\frac{15{,}0}{\rho}\\ \text{D}, esse valor em Debye depende de \rho e foi apenas nota complementar.)

Resposta

\displaystyle \mathbf{D}(\rho)=\frac{3{,}28205128\times10^{-9}}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}\\ \text{C/m}^2\quad\text{(ou }\mathbf{D}(\rho)=\frac{3{,}28205128}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}\\ \text{nC/m}^2\text{)}
\displaystyle \mathbf{E}(\rho)=\frac{1}{\epsilon_0\chi_e}\frac{2\times10^{-9}}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}\approx\frac{144{,}70}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}\\ \text{V/m}
\displaystyle V_{ab}=V(a)-V(b)\approx 191{,}3\\ \text{V}
\displaystyle \chi_{e}=1{,}56
\displaystyle \mathbf{p}(\rho)=\frac{5{,}0\times10^{-29}}{\rho}\,\mathbf{a}_{\rho}\\ \text{C·m}

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