Uma determinada fonte CA senoidal
fornece uma corrente para o sistema dada por
. Com tais informações, determine:
(a) O valor rms da fonte de tensão
.
(b) A potência média P fornecida pela fonte
.
(a) O valor rms da fonte de tensão
(b) A potência média P fornecida pela fonte
Passo 1
O enunciado dá duas funções senoidais no tempo e pede duas coisas:
- (a) o valor rms da fonte de tensão
; - (b) a potência média
fornecida pela fonte .
Dados fornecidos (copiei diretamente do enunciado):
Anotei os elementos relevantes:
- Amplitude (valor de pico) da tensão:
. - Fase da tensão:
. - Amplitude (valor de pico) da corrente:
. - Fase da corrente:
. - A frequência é
, mas aqui não precisamos do valor numérico de para calcular rms e potência média entre senos da mesma frequência.
Passo 2
Como primeiro passo de técnica: o que é rms de uma senoide e como calcular?
Explicação didática: para uma função senoidal pura , define-se o valor eficaz (rms) como a raiz quadrada da média do quadrado da função ao longo de um período. Para uma senoide isso dá a fórmula conhecida:
Explicação didática: para uma função senoidal pura
Aqui
é a amplitude (valor de pico) da senoide e
vem do cálculo da média de
sobre um período (essa média é
). Essa fórmula é muito usada em prova porque permite ir direto do pico para o rms sem integrar.
Aplicando à nossa tensão, com
:
Passo 3
Calculemos numericamente
. Primeiro, recordando um valor aproximado:
Então
Para lápis e prova pode-se arredondar para
, mas mantenho
para maior precisão.
Passo 4
Agora parte (b): qual é a potência média fornecida pela fonte
?
Conceito e fórmula: para sinais senoidais de mesma frequência em regime permanente a potência média (ativa) absorvida pela carga é dada por
Conceito e fórmula: para sinais senoidais de mesma frequência em regime permanente a potência média (ativa) absorvida pela carga é dada por
onde:
-
é o valor eficaz da tensão (calculado antes), -
é o valor eficaz da corrente, -
é a diferença de fase entre tensão e corrente, -
é o fator de potência (parte ativa).
Outra forma equivalente, usando as amplitudes, é:
porque
e
, logo
.
Passo 5
Calcule
a partir de
. Usando a mesma fórmula rms:
(Observação:
foi dado com 3 casas decimais e corresponde numericamente a aproximadamente
, por isso o rms fica muito próximo de
.)
Passo 6
Calcule a diferença de fase e o cosseno dessa diferença:
E
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula da potência. Uso a forma com amplitudes para mostrar o cancelamento de
:
Substituindo
,
e
:
Podemos calcular numericamente passo a passo:
Passo 8
Interpretação final e arredondamento: a potência média calculada é positiva, o que significa que a fonte está fornecendo energia ativa para a carga. Arredondando com duas casas decimais obtemos
. Para provas é comum apresentar
.
Resposta
(a)
(b)
(b)