Uma determinada fonte CA senoidal v(t)=149,9 \operatorname{sen}\left(2 \pi 60 t-\frac{\pi}{6}\right) fornece uma corrente para o sistema dada por i(t)=14,142 \operatorname{sen}\left(2 \pi 60 t-\frac{\pi}{3}\right). Com tais informações, determine:
(a) O valor rms da fonte de tensão v(t).
(b) A potência média P fornecida pela fonte v(t).

Passo 1

O enunciado dá duas funções senoidais no tempo e pede duas coisas:
  • (a) o valor rms da fonte de tensão v(t);
  • (b) a potência média P fornecida pela fonte v(t).
Dados fornecidos (copiei diretamente do enunciado):
v(t)=149{,}9\operatorname{sen}\!\left(2\pi 60 t-\tfrac{\pi}{6}\right)
i(t)=14{,}142\operatorname{sen}\!\left(2\pi 60 t-\tfrac{\pi}{3}\right)
Anotei os elementos relevantes:
  • Amplitude (valor de pico) da tensão: V_m=149{,}9.
  • Fase da tensão: \varphi_v=-\tfrac{\pi}{6}.
  • Amplitude (valor de pico) da corrente: I_m=14{,}142.
  • Fase da corrente: \varphi_i=-\tfrac{\pi}{3}.
  • A frequência é 60\\ \text{Hz}, mas aqui não precisamos do valor numérico de \omega para calcular rms e potência média entre senos da mesma frequência.

Passo 2

Como primeiro passo de técnica: o que é rms de uma senoide e como calcular?
Explicação didática: para uma função senoidal pura \,x(t)=X_m\operatorname{sen}(\omega t+\varphi)\,, define-se o valor eficaz (rms) como a raiz quadrada da média do quadrado da função ao longo de um período. Para uma senoide isso dá a fórmula conhecida:
X_{\text{rms}}=\frac{X_m}{\sqrt{2}}.
Aqui X_m é a amplitude (valor de pico) da senoide e \sqrt{2} vem do cálculo da média de \operatorname{sen}^2 sobre um período (essa média é 1/2). Essa fórmula é muito usada em prova porque permite ir direto do pico para o rms sem integrar.
Aplicando à nossa tensão, com V_m=149{,}9:
V_{\text{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}=\frac{149{,}9}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Calculemos numericamente V_{\text{rms}}. Primeiro, recordando um valor aproximado:
\sqrt{2}\approx 1{,}414213562.
Então
V_{\text{rms}}=\frac{149{,}9}{1{,}414213562}\approx 105{,}996\\ \text{V}.
Para lápis e prova pode-se arredondar para 106{,}0\\ \text{V}, mas mantenho 105{,}996\\ \text{V} para maior precisão.

Passo 4

Agora parte (b): qual é a potência média fornecida pela fonte v(t)?
Conceito e fórmula: para sinais senoidais de mesma frequência em regime permanente a potência média (ativa) absorvida pela carga é dada por
P=V_{\text{rms}}\,I_{\text{rms}}\,\cos(\varphi_v-\varphi_i),
onde:
  • V_{\text{rms}} é o valor eficaz da tensão (calculado antes),
  • I_{\text{rms}} é o valor eficaz da corrente,
  • \varphi_v-\varphi_i é a diferença de fase entre tensão e corrente,
  • \cos(\varphi_v-\varphi_i) é o fator de potência (parte ativa).
Outra forma equivalente, usando as amplitudes, é:
P=\frac{V_m I_m}{2}\cos(\varphi_v-\varphi_i),
porque V_{\text{rms}}=\tfrac{V_m}{\sqrt{2}} e I_{\text{rms}}=\tfrac{I_m}{\sqrt{2}}, logo V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}=\tfrac{V_m I_m}{2}.

Passo 5

Calcule I_{\text{rms}} a partir de I_m=14{,}142. Usando a mesma fórmula rms:
I_{\text{rms}}=\frac{I_m}{\sqrt{2}}=\frac{14{,}142}{\sqrt{2}}\approx 10{,}000\\ \text{A}.
(Observação: 14{,}142 foi dado com 3 casas decimais e corresponde numericamente a aproximadamente 10\sqrt{2}, por isso o rms fica muito próximo de 10{,}0\\ \text{A}.)

Passo 6

Calcule a diferença de fase e o cosseno dessa diferença:
\varphi_v-\varphi_i = -\tfrac{\pi}{6} - \left(-\tfrac{\pi}{3}\right) = -\tfrac{\pi}{6} + \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{\pi}{6}.
E
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254038.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula da potência. Uso a forma com amplitudes para mostrar o cancelamento de \sqrt{2}:
P=\frac{V_m I_m}{2}\cos(\varphi_v-\varphi_i).
Substituindo V_m=149{,}9, I_m=14{,}142 e \cos(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
P=\frac{149{,}9\cdot 14{,}142}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Podemos calcular numericamente passo a passo:
\frac{149{,}9\cdot 14{,}142}{2}=1059{,}9429\quad(\text{aprox.})
P=1059{,}9429\cdot 0{,}8660254038\approx 917{,}9375\\ \text{W}.

Passo 8

Interpretação final e arredondamento: a potência média calculada é positiva, o que significa que a fonte está fornecendo energia ativa para a carga. Arredondando com duas casas decimais obtemos P\approx 917{,}94\\ \text{W}. Para provas é comum apresentar P\approx 918\\ \text{W}.

Resposta

(a) \;V_{\text{rms}}=105{,}996\\ \text{V}
(b) \;P=917{,}94\\ \text{W}

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