2a. Questão) Complete com “C” ou “E” conforme as alternativas sejam consideradas certas ou erradas respectivamente (1 ponto).
© A decomposição em frações parciais permite a transformação de um circuito elétrico do domínio da frequência complexa “s” para o domínio do tempo.
(E) Valores iniciais em capacitores e indutores podem ser representados por fontes de tensão em série com as reatâncias capacitiva e indutiva.
(
) A divisão por "
" equivale a uma ação de derivação no domínio do tempo.
(C) A divisão por “s” equivale a uma ação de integração no dominio do tempo.
(C) O uso do Transformada de Laplace permite resolver equações integro-diferenciais por meio de sistemas de equações lineares.
© A decomposição em frações parciais permite a transformação de um circuito elétrico do domínio da frequência complexa “s” para o domínio do tempo.
(E) Valores iniciais em capacitores e indutores podem ser representados por fontes de tensão em série com as reatâncias capacitiva e indutiva.
(
(C) A divisão por “s” equivale a uma ação de integração no dominio do tempo.
(C) O uso do Transformada de Laplace permite resolver equações integro-diferenciais por meio de sistemas de equações lineares.
Passo 1
O enunciado pede que eu marque cada uma das cinco afirmações com “C” (certa) ou “E” (errada). As afirmações dadas são (vou listá‑las exatamente como aparecem, para não haver confusão):
- A decomposição em frações parciais permite a transformação de um circuito elétrico do domínio da frequência complexa
para o domínio do tempo. - Valores iniciais em capacitores e indutores podem ser representados por fontes de tensão em série com as reatâncias capacitiva e indutiva.
- A divisão por
equivale a uma ação de derivação no domínio do tempo. - A divisão por
equivale a uma ação de integração no dominio do tempo. - O uso do Transformada de Laplace permite resolver equações integro-diferenciais por meio de sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, um mini‑resumo didático sobre a técnica que aparece nas afirmações: a Transformada de Laplace transforma funções do tempo
em funções do complexo
,
. O trabalho pesado para voltar ao tempo (inversão) muitas vezes exige decompor
em termos simples cujas inversas nós conhecemos — é aí que entra a decomposição em frações parciais. Exemplo rápido (didático): se
fazemos frações parciais
acha-se
e
e depois usamos tabelas de transformadas inversas (por exemplo
). Isso mostra por que a decomposição em frações parciais é uma ferramenta prática para passar do domínio
de volta ao domínio do tempo.
Passo 3
Analisando a afirmação 1: “A decomposição em frações parciais permite a transformação de um circuito elétrico do domínio da frequência complexa
para o domínio do tempo.”
Justificativa didática: em análise de circuitos lineares com coeficientes constantes (muitos problemas de prova), a função de transferência ou a transformada da resposta geralmente é uma função racional em . Para achar a resposta no tempo aplicamos a transformada inversa; a forma usual é decompor em frações parciais e usar tabelas conhecidas. Logo, a afirmação é correta. Marcamos: C.
Justificativa didática: em análise de circuitos lineares com coeficientes constantes (muitos problemas de prova), a função de transferência ou a transformada da resposta geralmente é uma função racional em
Passo 4
Agora sobre representação de condições iniciais em elementos reativos (afirmação 2). Vou mostrar a relação matemática e a interpretação em circuito no domínio
.
Para um capacitor com tensão inicial
e definição
, aplicando Laplace e usando a propriedade da derivada:
Isolando
obtemos
Interpretação: em
-domínio o capacitor tem uma impedância
e aparece uma fonte de tensão em série com valor
. Portanto a condição inicial do capacitor pode ser modelada por uma fonte de tensão em série com a reatância capacitiva
.
Para um indutor com corrente inicial
e
, aplicando Laplace:
Interpretação: o indutor tem impedância
e a condição inicial aparece como uma fonte de tensão em série (valor
, ou, dependendo da orientação escolhida, uma fonte de mesma magnitude com polaridade apropriada). Assim, também para o indutor é possível representar a condição inicial por uma fonte de tensão em série com a reatância
(há também representações equivalentes por fontes de corrente e transformações Thevenin/Norton, mas a representação por fonte de tensão em série é comum e correta).
Conclusão: a afirmação 2 é correta. Marcamos: C.
Passo 5
Agora vou tratar das propriedades que relacionam multiplicação/divisão por
com operações no tempo (afirmações 3 e 4). As fórmulas fundamentais são (propriedades da transformada de Laplace):
Interpretação clara e prática:
- Multiplicar
por está ligado à derivação de , mas aparece o termo adicional ; ou seja, não é exatamente salvo pela correção dos termos iniciais. Então dizer “multiplicar por equivale a derivar” é incompleto/enganoso se não mencionar os termos iniciais. - Dividir
por corresponde exatamente à transformada da integral de : . Portanto divisão por equivale a integração (sem termo inicial extra).
Um exemplo didático e curto: se
então
(degrau unitário). Dividir por
dá
cuja inversa é
— que é exatamente a integral de
.
Passo 6
Aplicando o item anterior às afirmações:
- Afirmação 3: “A divisão por
equivale a uma ação de derivação no domínio do tempo.” Isso é falso: divisão por é integração, não derivação. Marcamos: E. - Afirmação 4: “A divisão por
equivale a uma ação de integração no dominio do tempo.” Isso é verdadeiro. Marcamos: C.
Passo 7
Finalmente, a afirmação 5: “O uso do Transformada de Laplace permite resolver equações integro-diferenciais por meio de sistemas de equações lineares.”
Explicação didática: quando aplicamos Laplace a uma equação diferencial (ou integro‑diferencial) linear com coeficientes constantes, transformamos derivadas e integrais em termos algébricos em (além de termos envolvendo condições iniciais). Assim a equação diferencial vira uma equação algébrica em
. Em problemas de circuitos com várias incógnitas (por exemplo tensões e correntes em vários nós/ramificações), isso gera um sistema linear algébrico em
que pode ser resolvido por métodos de álgebra linear (por exemplo eliminação de Gauss ou análise nodal em
). Portanto a afirmação é correta: a Transformada de Laplace transforma o problema em um sistema de equações lineares algébricas que se resolvem para obter
e depois se faz a inversa para voltar ao tempo. Marcamos: C.
Explicação didática: quando aplicamos Laplace a uma equação diferencial (ou integro‑diferencial) linear com coeficientes constantes, transformamos derivadas e integrais em termos algébricos em
Resposta
C
C
E
C
C
C
E
C
C