2a. Questão) Complete com “C” ou “E” conforme as alternativas sejam consideradas certas ou erradas respectivamente (1 ponto).
© A decomposição em frações parciais permite a transformação de um circuito elétrico do domínio da frequência complexa “s” para o domínio do tempo.
(E) Valores iniciais em capacitores e indutores podem ser representados por fontes de tensão em série com as reatâncias capacitiva e indutiva.
( \bar{E} ) A divisão por " s " equivale a uma ação de derivação no domínio do tempo.
(C) A divisão por “s” equivale a uma ação de integração no dominio do tempo.
(C) O uso do Transformada de Laplace permite resolver equações integro-diferenciais por meio de sistemas de equações lineares.

Passo 1

O enunciado pede que eu marque cada uma das cinco afirmações com “C” (certa) ou “E” (errada). As afirmações dadas são (vou listá‑las exatamente como aparecem, para não haver confusão):
  1. A decomposição em frações parciais permite a transformação de um circuito elétrico do domínio da frequência complexa (s) para o domínio do tempo.
  2. Valores iniciais em capacitores e indutores podem ser representados por fontes de tensão em série com as reatâncias capacitiva e indutiva.
  3. A divisão por (s) equivale a uma ação de derivação no domínio do tempo.
  4. A divisão por (s) equivale a uma ação de integração no dominio do tempo.
  5. O uso do Transformada de Laplace permite resolver equações integro-diferenciais por meio de sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, um mini‑resumo didático sobre a técnica que aparece nas afirmações: a Transformada de Laplace transforma funções do tempo f(t) em funções do complexo s, F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}. O trabalho pesado para voltar ao tempo (inversão) muitas vezes exige decompor F(s) em termos simples cujas inversas nós conhecemos — é aí que entra a decomposição em frações parciais. Exemplo rápido (didático): se
F(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)}
fazemos frações parciais
F(s)=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2},
acha-se A e B e depois usamos tabelas de transformadas inversas (por exemplo \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-at}). Isso mostra por que a decomposição em frações parciais é uma ferramenta prática para passar do domínio s de volta ao domínio do tempo.

Passo 3

Analisando a afirmação 1: “A decomposição em frações parciais permite a transformação de um circuito elétrico do domínio da frequência complexa (s) para o domínio do tempo.”
Justificativa didática: em análise de circuitos lineares com coeficientes constantes (muitos problemas de prova), a função de transferência ou a transformada da resposta geralmente é uma função racional em s. Para achar a resposta no tempo aplicamos a transformada inversa; a forma usual é decompor em frações parciais e usar tabelas conhecidas. Logo, a afirmação é correta. Marcamos: C.

Passo 4

Agora sobre representação de condições iniciais em elementos reativos (afirmação 2). Vou mostrar a relação matemática e a interpretação em circuito no domínio s.
Para um capacitor com tensão inicial v_C(0^-) e definição i(t)=C\,\frac{dv}{dt}, aplicando Laplace e usando a propriedade da derivada:
I_C(s)=C\big(sV_C(s)-v_C(0^-)\big).
Isolando V_C(s) obtemos
V_C(s)=\frac{1}{sC}\,I_C(s)+\frac{v_C(0^-)}{s}.
Interpretação: em s-domínio o capacitor tem uma impedância \tfrac{1}{sC} e aparece uma fonte de tensão em série com valor \tfrac{v_C(0^-)}{s}. Portanto a condição inicial do capacitor pode ser modelada por uma fonte de tensão em série com a reatância capacitiva \tfrac{1}{sC}.
Para um indutor com corrente inicial i_L(0^-) e v(t)=L\,\frac{di}{dt}, aplicando Laplace:
V_L(s)=L\big(sI_L(s)-i_L(0^-)\big)=sL\,I_L(s)-L\,i_L(0^-).
Interpretação: o indutor tem impedância sL e a condição inicial aparece como uma fonte de tensão em série (valor -L\,i_L(0^-), ou, dependendo da orientação escolhida, uma fonte de mesma magnitude com polaridade apropriada). Assim, também para o indutor é possível representar a condição inicial por uma fonte de tensão em série com a reatância sL (há também representações equivalentes por fontes de corrente e transformações Thevenin/Norton, mas a representação por fonte de tensão em série é comum e correta).
Conclusão: a afirmação 2 é correta. Marcamos: C.

Passo 5

Agora vou tratar das propriedades que relacionam multiplicação/divisão por s com operações no tempo (afirmações 3 e 4). As fórmulas fundamentais são (propriedades da transformada de Laplace):
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0^-),
\mathcal{L}\Big\{\int_{0}^{t} f(\tau)\,d\tau\Big\}=\frac{1}{s}F(s).
Interpretação clara e prática:
  • Multiplicar F(s) por s está ligado à derivação de f(t), mas aparece o termo adicional -f(0^-); ou seja, sF(s) não é exatamente \mathcal{L}\{f'(t)\} salvo pela correção dos termos iniciais. Então dizer “multiplicar por s equivale a derivar” é incompleto/enganoso se não mencionar os termos iniciais.
  • Dividir F(s) por s corresponde exatamente à transformada da integral de f: \tfrac{1}{s}F(s)=\mathcal{L}\{\int_0^t f(\tau)d\tau\}. Portanto divisão por s equivale a integração (sem termo inicial extra).
Um exemplo didático e curto: se F(s)=\tfrac{1}{s} então f(t)=1 (degrau unitário). Dividir por s \tfrac{1}{s^2} cuja inversa é t — que é exatamente a integral de 1.

Passo 6

Aplicando o item anterior às afirmações:
  • Afirmação 3: “A divisão por (s) equivale a uma ação de derivação no domínio do tempo.” Isso é falso: divisão por s é integração, não derivação. Marcamos: E.
  • Afirmação 4: “A divisão por (s) equivale a uma ação de integração no dominio do tempo.” Isso é verdadeiro. Marcamos: C.

Passo 7

Finalmente, a afirmação 5: “O uso do Transformada de Laplace permite resolver equações integro-diferenciais por meio de sistemas de equações lineares.”
Explicação didática: quando aplicamos Laplace a uma equação diferencial (ou integro‑diferencial) linear com coeficientes constantes, transformamos derivadas e integrais em termos algébricos em s (além de termos envolvendo condições iniciais). Assim a equação diferencial vira uma equação algébrica em F(s). Em problemas de circuitos com várias incógnitas (por exemplo tensões e correntes em vários nós/ramificações), isso gera um sistema linear algébrico em s que pode ser resolvido por métodos de álgebra linear (por exemplo eliminação de Gauss ou análise nodal em s). Portanto a afirmação é correta: a Transformada de Laplace transforma o problema em um sistema de equações lineares algébricas que se resolvem para obter F(s) e depois se faz a inversa para voltar ao tempo. Marcamos: C.

Resposta

C
C
E
C
C

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