e pede para verificar, sem calcular diretamente o determinante, que \det(A)=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
As linhas (vetores linha) de A sãor_1=(1,2,3),\qquad r_2=(4,5,6),\qquad r_3=(7,8,9).
A tarefa é justificar por que o determinante é zero sem fazer a conta direta do determinante.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicado devagar):
Dizemos que vetores são linearmente dependentes se existe uma combinação linear não trivial (coeficientes não todos zero) que dá o vetor nulo. Ou seja, vetores v_1,v_2,\dots,v_k são linearmente dependentes se existem escalares c_1,\dots,c_k, não todos nulos, tais quec_1 v_1 + c_2 v_2+\cdots+c_k v_k = 0.
Propriedade importante do determinante: o determinante de uma matriz é zero se e somente se suas linhas (ou suas colunas) são linearmente dependentes. Em palavras fáceis: se alguma linha pode ser obtida como combinação linear das outras, então as linhas não formam um “sistema independente” e o determinante vale zero.
Outra propriedade útil (mais simples de provar diretamente): se uma matriz tem duas linhas iguais, então seu determinante é zero. A razão: trocar duas linhas troca o sinal do determinante; mas se as linhas são iguais a matriz não muda ao trocar, então \det=\!-\,\det, logo \det=0.
Vou usar essas ideias para mostrar que as linhas de A são linearmente dependentes, o que implica \det(A)=0.
Passo 3
Ache uma relação linear entre r_1,r_2,r_3. Vamos testar combinações simples; calculemos 2r_2 - r_1:
2r_2 - r_1 =2(4,5,6)-(1,2,3) =(8,10,12)-(1,2,3).
Fazendo a subtração componente a componente:
(8-1,\;10-2,\;12-3)=(7,8,9).
Portanto obtemos
2r_2 - r_1 = (7,8,9).
Passo 4
Compare o resultado com r_3. Observamos que
2r_2 - r_1 = (7,8,9)=r_3.
Logo existe a relação linear não trivial entre as linhas:
(-1)\,r_1 + 2\,r_2 + (-1)\,r_3 = 0,
ou, reescrevendo,
r_3 = 2r_2 - r_1.
Isto mostra que as três linhas são linearmente dependentes (porque r_3 é combinação linear de r_1 e r_2).
Passo 5
Conclua usando a propriedade do determinante: como as linhas de A são linearmente dependentes, o determinante de A é zero. Para motivar por que essa propriedade garante \det(A)=0, segue uma explicação curta usando linearidade do determinante em cada linha:
O determinante é linear em cada linha. Assim, substituindo r_3 por 2r_2-r_1 no cálculo do determinante, obtemos\det(r_1,r_2,r_3)=\det(r_1,r_2,2r_2-r_1)=2\det(r_1,r_2,r_2)-\det(r_1,r_2,r_1).
Mas \det(r_1,r_2,r_2)=0 porque tem duas linhas iguais (r_2 aparece duas vezes), e \det(r_1,r_2,r_1)=0 porque também tem duas linhas iguais (r_1 aparece duas vezes). Assim o lado direito é 2\cdot 0 - 0=0.