Nos exercícios 49 e 50 , verifique se o operador T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é diagonalizável e, caso o seja, obtenha uma matriz do \mathbb{R}^{3} formada por autovetores de T. T(x, y, z)=(3 x+y+z, x+3 y+z, x+y+3 z)
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
T(x,y,z)=(3x+y+z,\;x+3y+z,\;x+y+3z).
O que se pede:
Verificar se T é diagonalizável (ou seja: existe base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T?).
Caso seja diagonalizável, apresentar uma matriz em \mathbb{R}^{3} cujas colunas sejam autovetores de T.
Informações dadas relevantes:
A ação de T mostra que, na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, a matriz de T é a matriz A com entradas a_{ii}=3 e a_{ij}=1 para i\neq j. Ou seja,
Definição e estratégia (aulas rápidas): um vetor não-nulo v é autovetor de T se existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
T(v)=\lambda v.
O número \lambda é chamado autovalor. Para encontrar autovalores resolvemos a equação característica
\det(A-\lambda I)=0.
Se conseguirmos três autovetores linearmente independentes, T é diagonalizável. Vou explorar uma decomposição útil da matriz para achar os autovalores de forma simples.
Passo 3
Observação útil (explicação do truque): seja J a matriz 3\times3 cujas entradas são todas 1. Note que
A = 2I + J,
pois 2I tem 2 na diagonal e 0 fora, e somando J (que tem 1 em todo lugar) obtemos 3 na diagonal e 1 fora dela, exatamente A.
Propriedade de J: para qualquer vetor v=(v_1,v_2,v_3), Jv é o vetor cujo cada entrada é a soma v_1+v_2+v_3. Ou seja, se s=v_1+v_2+v_3 então
Portanto u é autovetor associado ao autovalor \lambda=5. Concluímos que \lambda=5 é um autovalor (pelo menos com multiplicidade geométrica \ge1).]
Passo 5
Autovalor para vetores cuja soma das componentes é zero: considere qualquer vetor v com s=v_1+v_2+v_3=0. Então Jv=0 e, usando A=2I+J,
Av = 2v + Jv = 2v + 0 = 2v.
Logo qualquer vetor com soma das componentes zero é autovetor de A com autovalor \lambda=2. O subespaço S=\{v\in\mathbb{R}^3:\;v_1+v_2+v_3=0\} tem dimensão 2, portanto \lambda=2 tem espaço próprio de dimensão 2 (geometric multiplicity =2).
Passo 6
Conclusão sobre autovalores e diagonalizabilidade: os autovalores encontrados são
o que confirma \lambda=2. Mesmo para v^{(3)} dá Av^{(3)}=2v^{(3)}. Esses três vetores são linearmente independentes (os dois últimos têm soma de componentes zero e são claramente independentes entre si e do primeiro), portanto formam uma matriz P invertível cujas colunas são autovetores.]
Passo 7
Matriz formada por autovetores: tomando as colunas na ordem v^{(1)},v^{(2)},v^{(3)} obtemos a matriz