29P. Em duas pistas diferentes, os vencedores da prova de uma milha fizeram os tempos de 3 min 58,05 s e 3 m 58.20 s . Para concluir que o corredor que fez o melhor tempo é realmente o mais rápido, qual o maior erro, em metros, que pode ser aceito an se medirem as pistas?

Passo 1

O enunciado dá dois tempos de prova de uma milha (distância nominal L=1609,344 m):
bul<=t Primeiro corredor: t1 = 3min 58,05s = 238,05 s.
bul<=t Segundo corredor: t2 = 3min 58,20s = 238,20 s.
Queremos garantir que, mesmo com erro de medição nas pistas, o corredor com t1 de fato teve maior velocidade média v=L/t. O objetivo é achar o maior erro e (em metros) tal que ainda se tenha v1>v2.

Passo 2

Se a pista 1 tiver comprimento real L1 e a pista 2 tiver L2, as velocidades médias são
v1 = L1t1, v2 = L2t2
Para concluir que o corredor 1 é mais rápido precisamos de
v1 > v2

Passo 3

No pior caso, o erro de medição faz a pista 1 ficar subestimada em e e a pista 2 superestimada em e, isto é,
L1 = L - e, L2 = L + e
Assim a condição v1>v2 vira
L - et1 > L + et2

Passo 4

Multiplicando em cruz obtemos
(L - e),t2 > (L + e),t1 ;Longrightarrow; L,t2 - e,t2 > L,t1 + e,t1 ;Longrightarrow; L,(t2 - t1) > e,(t1 + t2)
Logo
e < L,(t2 - t1)t1 + t2

Passo 5

Substituindo L=1609,344 m, t2 - t1=0,15 s e t1+t2=476,25 s:
e < 1609,344cdot 0,15476,25 approx 0,5069 m

Resposta

O maior erro admissível nas medições das pistas é de aproximadamente 0,51 metros.

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