2.2G Expresse cada decimal periódica como uma série e ache a fração ordinária que ela representa:
5,146146146 \ldots

Passo 1

O enunciado pede para converter o decimal periódico 5,146146146\ldots em uma série infinita e depois em fração ordinária. Vamos usar a soma de séries geométricas para a parte periódica.

Passo 2

Seja x = 5,146146146\ldots. Podemos separar a parte inteira da parte periódica:
x = 5 + 0,146146146\ldots
A parte periódica é
0,146146146\ldots = \sum_{n=1}^{\infty} 146 \cdot 10^{-3n}

Passo 3

Essa série é geométrica de primeiro termo a = 146 \cdot 10^{-3} e razão r = 10^{-3}. Logo,
\sum_{n=1}^{\infty} 146 \cdot 10^{-3n} = \frac{146 \cdot 10^{-3}}{1 - 10^{-3}} = \frac{146/1000}{1 - 1/1000} = \frac{146}{999}

Passo 4

Substituindo em x:
x = 5 + \frac{146}{999} = \frac{5 \cdot 999 + 146}{999} = \frac{5141}{999}
Verifica-se que \tfrac{5141}{999} está irredutível.

Resposta

\displaystyle \frac{5141}{999}

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