2.2F Encontre os valores de x que tornam a série \sum_{n=1}^{\infty} x^{2 n} convergente e calcule o valor da soma. Idem para a série \frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}+\frac{(x-3)^{2}}{8}+\cdots+\frac{(x-3)^{n}}{2^{n+1}}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para duas séries geométricas encontrarmos o conjunto de valores de x que garantem convergência e, em seguida, calcular a soma. O conteúdo principal é o critério e a soma da série geométrica:
\sum_{k=0}^{\infty} a\,r^k
converge se \lvert r\rvert<1 e, nesse caso,
\sum_{k=0}^{\infty} a\,r^k=\frac{a}{1-r}.

Passo 2

Para a série
\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n},
note que podemos reindexar de n=1 para k=0 definindo k=n-1, mas é mais direto ver que se trata de
\sum_{n=1}^{\infty}(x^2)^n.
Aqui o primeiro termo é a=x^2 e a razão é r=x^2. Pelo critério de série geométrica, converge se
\lvert r\rvert=\lvert x^2\rvert<1\quad\Longleftrightarrow\quad\lvert x\rvert<1.
Nesse caso, a soma vale
\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n} =\frac{a}{1-r} =\frac{x^2}{1-x^2}.

Passo 3

Para a série
\frac12+\frac{x-3}{4}+\frac{(x-3)^2}{8}+\cdots+\frac{(x-3)^n}{2^{n+1}}+\cdots
podemos escrevê-la como
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-3)^n}{2^{n+1}} =\frac12\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{x-3}{2}\Bigr)^{n}.
Aqui a=\tfrac12 e r=\tfrac{x-3}{2}. Converge se
\bigl\lvert\tfrac{x-3}{2}\bigr\rvert<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \lvert x-3\rvert<2 \quad\Longleftrightarrow\quad 1<x<5.
Quando \lvert x-3\rvert<2, a soma é
\frac12\cdot\frac{1}{1-\tfrac{x-3}{2}} =\frac12\cdot\frac{1}{\tfrac{2-(x-3)}{2}} =\frac{1}{2-(x-3)} =\frac{1}{5-x}.

Resposta

Para \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}x^{2n}:
Converge se \lvert x\rvert<1 e
\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n}=\frac{x^2}{1-x^2}.
Para \displaystyle \frac12+\frac{x-3}{4}+\frac{(x-3)^2}{8}+\cdots:
Converge se \lvert x-3\rvert<2 (isto é, 1<x<5) e
\frac12+\frac{x-3}{4}+\frac{(x-3)^2}{8}+\cdots=\frac{1}{5-x}.

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