2.2F Encontre os valores de x que tornam a série \sum_{n=1}^{\infty} x^{2 n} convergente e calcule o valor da soma. Idem para a série \frac{1}{2}+\frac{x-3}{4}+\frac{(x-3)^{2}}{8}+\cdots+\frac{(x-3)^{n}}{2^{n+1}}+\cdots
Passo 1
O enunciado pede para duas séries geométricas encontrarmos o conjunto de valores de x que garantem convergência e, em seguida, calcular a soma. O conteúdo principal é o critério e a soma da série geométrica:
\sum_{k=0}^{\infty} a\,r^k
converge se \lvert r\rvert<1 e, nesse caso,
\sum_{k=0}^{\infty} a\,r^k=\frac{a}{1-r}.
Passo 2
Para a série
\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n},
note que podemos reindexar de n=1 para k=0 definindo k=n-1, mas é mais direto ver que se trata de
\sum_{n=1}^{\infty}(x^2)^n.
Aqui o primeiro termo é a=x^2 e a razão é r=x^2. Pelo critério de série geométrica, converge se