2.2G Expresse cada decimal periódica como uma série e ache a fração ordinária que ela representa:
2,718288288 \ldots.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a dízima periódica 2,718288288\ldots como uma série infinita e, a partir daí, obter a fração ordinária que ela representa. O conteúdo aqui é representação de decimais periódicas por séries geométricas e simplificação de frações.

Passo 2

Seja
y = 2{,}718288288\ldots
Podemos separar a parte inteira e os três primeiros dígitos decimais (não periódicos) da parte periódica “288”. Assim
y = 2 + 0{,}7 + 0{,}01 + 0{,}008 + \bigl(0{,}000288288288\ldots\bigr).
Escrevendo 0{,}000288288288\ldots como série, notamos que a cada bloco “288” aparecem 3 casas decimais a mais. Logo
0{,}000288288288\ldots = \sum_{n=1}^{\infty} 288 \times 10^{-(3n+3)}.

Passo 3

Para somar essa série, fatoramos o primeiro termo ( n=1) e identificamos razão r=10^{-3}:
\sum_{n=1}^{\infty} 288\cdot10^{-(3n+3)} = 288\cdot10^{-6}\sum_{k=0}^{\infty}(10^{-3})^k = 288\cdot10^{-6}\,\frac{1}{1-10^{-3}} = \frac{288\times10^{-6}}{1-\tfrac{1}{1000}} = \frac{288\times10^{-6}}{\tfrac{999}{1000}} = \frac{288}{999000}.

Passo 4

Agora somamos a parte não periódica:
0{,}7 + 0{,}01 + 0{,}008 = \frac{7}{10} + \frac{1}{100} + \frac{8}{1000} = \frac{718}{1000}.
Portanto
y = 2 + \frac{718}{1000} + \frac{288}{999000}.

Passo 5

Colocando em denominador comum 999000:
\frac{718}{1000} = \frac{718\times999}{999000} = \frac{717282}{999000},
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y = 2 + \frac{717282 + 288}{999000} = 2 + \frac{717570}{999000}.
Simplificando \tfrac{717570}{999000}=\tfrac{7973}{11100} (dividindo por 90 e depois por 3), obtém-se
y = 2 + \frac{7973}{11100} = \frac{2\cdot11100 + 7973}{11100} = \frac{30173}{11100}.

Resposta

\frac{30173}{11100}

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